數(shù)學(xué)分析數(shù)集確界原-資料下載頁
2025-08-22 09:06本頁面
【導(dǎo)讀】性，是本章學(xué)習(xí)的重點(diǎn)與難點(diǎn).R,,,MxSxMM若使得則稱為?????其充要條件為使有。若不是有上界的數(shù)集則稱無上界即。則故S有下界.取L=1,記為的上確界是則稱。x點(diǎn)擊上圖動(dòng)畫演示。注1條件說明是的一個(gè)上界,條件說明S?以下確界原理也可作公理,不予證明.不一定有最小值,例如(0,?見,不妨設(shè)S含有非負(fù)數(shù).令則是正規(guī)小數(shù)表示。是有上界的集合,從而S+也是有上界的集合,至多有個(gè)數(shù)從而必有最大值。因此是有限集必有最大值令
【正文】 。S a S a? ? ?? ? ?+( i i ) R , { | } ,b b S b x x S若 定 義 則s up { } s up .b S b S??y?B。 sup A? y. 這樣 , sup A 又是 B 的一個(gè)下界 , 而 inf B 是最大的下界 , 因此 sup A ?inf B. 返回 后頁 前頁 證 ,)i( aSax ???? ,Sx ?其中 必有 ,s u p Sx ?于是 .s up aSax ???,0 0 Sx ???? ?對(duì)于 使 ,s u p0 ??? Sx 從而 ,0 aSax ???且 ,)(s u p0 ????? aSax因此 .s up)s up( aSaS ???返回 后頁 前頁 ,)ii( bSbx ?? 其中 ,Sx? 必有 ,s u p Sx ? 于是 .s up Sbbx ?0 , 0 ,b??? ?? ? ? ?令則存在 ,0 Sx ? 使 0 s u p ,xS ? ???因此 0 s u p s u p .b x b S b b S???? ? ? ?這就證明了 .s up}s up{ SbbS ?返回 后頁 前頁 四、非正常確界 。R,)i(.1 ???????? aa規(guī)定s u p N , in f { 2 | N } .n n ?? ? ? ? ? ? ? ?例 12. 推廣的確界原理 : 非空數(shù)集必有上、下確界 . .s u p,)ii( ???SS 記無上界若.i n f, ???SS 記無下界若例 2 設(shè)數(shù)集 1R , .A B x Ax???? ? ?????求證 : s u p i n f 0 .AB的 充 要 條 件 是? ? ? ?返回 后頁 前頁 00, s up , , .M A x A x M? ? ? ? ? ? ?1令 = 則 由 于001 , , .x B xM??? ? ? ?令 于 是0001 ,.y A y Mx 且? ? ?證 設(shè) s u p .A若 ? ? ? , 0 .x B x? ? ?顯 然 0,???于是 0001 ,.y B yx ?? ? ?且因此 in f ?反之 ,若 i n f 0 ,B ? 則 0,M??s u p .A因 此 ? ? ?返回 后頁 前頁 2. 1 2 1 2,S S S S?和 都 是 數(shù) 集 且 21 s u ps u p SS 和比較.i n fi n f 21 的大小和及 SS.s up Sa ? 其中形式一定為 ,),[ ??a1. 數(shù)集 S 有上界，則 S 的所有上界組成的集合是否 復(fù)習(xí)思考題 3. 在上確界的定義中， 00( i i ) , ,x S x? ? ?使? ? ? ? ?能否改為 00( i i ) , , ?x S x? ? ?? ? ? ? ? ?使或改為 00( i i ) , , ?x S x? ? ?使?? ? ? ? ? ?
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