【導讀】這類特殊極限問題導出了定積分的概念.這可以分四步進行.即在上插入個分點121{,,,},nxxx?為方便起見，記，010,,,Δ,,Δ.nnTxxxT用或=來記這個分割????在上把近似看作常數???上述和式稱為積分和或黎曼和。下面依次討論這兩個問題.與曲邊梯形的面積矩形，因此黎曼和。要刻畫能無限逼近需對任意。1[,]iixx區(qū)間要保證每個區(qū)間的長度不趨于0.就能保證分割越來越細.給定的能夠找到0,?設某物體作直線運動，已知速度)(tvv?tv，求物體在這段時間內所經過的路程.定義1[,]R.fabJ設是定義在上的函數，?,ab分變量,分別為積分下限和上限.關,還與有關,因此定積分既不是數。要求f有某種程度上的連續(xù)性.注3積分值僅與被積函數及積分區(qū)間有關，的取法是任意的.在，上連續(xù)，故解

　　

【正文】 a x x x b因 可積 故 使? ? ? ? ? ? ? ? ?1Δngiiix L????? 1| | .I ???2 1 11( ) [ ( ) ( ) ]ni i iiI g x F x F x??????0 1 0( ) [ ( ) ( ) ]g x F x F x? ? ? ???)]()()[( 11 ?? ?? nnn xFxFxg( 3 ) ( ) ( ) d ,xaF x f t t設 則? ?11, ( ) 0 , ( ) ( ) 0 .n i ig g x g x g x由對 的假設 記??? ? ?1 0 1( ) [ ( ) ( ) ]F x g x g x? ? ? ???.)()()]()()[(1111????? ???niniii xgbFxgxgxF)()()]()()[( 1121 ???? ??? nnnnn xgxFxgxgxF( , )m i n { ( ) } ,x a bm F x?? ( , )m ax { ( ) } ,x a bM F x??12 1 11[ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ,ni i niI M g x g x Mg x Mg a則????? ? ? ??12 1 11[ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ,ni i niI m g x g x m g x m g a????? ? ? ??(4) 綜合 (2), (3), 得到 12( ) ( ) .m g a I I M g a??? ? ? ? ?0 , ( ) ( ) .m g a I M g a?令 便得? ? ?( 5 ) ( ) 0, ( ) ( ) d 0,bag a I f x g x x若 則 此時任取? ? ??[ , ] ,ab? 滿足? ( ) ( ) d ( ) ( ) d .baaf x g x x g a f x x????).()( 2 aMgIamg ??于是( ) 0 ,ga若則? .)( Mag Im ?? ( ) ( ) dxaF x f t t由 ? ?( ) ( ) d ,()a IF f t t ga?? ???[ , ] ,ab?則存在 使?( ) ( ) d ( ) ( ) d ( ) ( ) d .bbaaf x g x x g a f x x g b f x x? ???? ? ?推論 ( ) [ , ] ( ) [ , ]f x a b g x a b設 在 上可積, 在 上單調,使存在 ],[ ba??的連續(xù)性,( ) ( ) d ( ) ( ) d .baaf x g x x g a f x x????即 證 若 g 為單調遞減函數， ( ) ( ) ( ) ,h x g x g b??令則 h 非負、單調減 , 由定理 (i)， [ , ] ,ab??? 使( ) ( ) d ( ) ( ) dbaaf x h x x h a f x x????[ ( ) ( ) ] ( ) d .ag a g b f x x??? ?因此 ( ) ( ) d ( ) ( ) dbbaaf x g x x g b f x x???[ ( ) ( ) ] ( ) d ,ag a g b f x x??? ?即得 ( ) ( ) dba f x g x x?( ) ( ) d ( ) ( ) d ( ) ( ) dba a ag a f x x g b f x x g b f x x??? ? ?? ? ?( ) ( ) d ( ) ( ) d .bag a f x x g b f x x? ?????二、換元積分法與分部積分法 ( ) , ( ) , ( ) , [ , ] ,a b a t b t? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?則 ????( ) d ( ( ) ) ( ) d .ba f x x f t t t?? ??( ( ) ) ( ) d ( ( ) ) ( ) ( ) d .bba af t t t F t F x f x x? ??? ? ? ?? ? ? ???證 ( ) ( ) [ , ]F x f x a b設 是 在 上 的 一 個 原 函 數 , 則( ) [ , ]t? ? ?連續(xù), 在 上連續(xù)可微, 且定理 （定積分換元積分法） ( ) [ , ]f x a b若 在 上的一個原函數 . 因此 ( ( ) ) ( ( ) ) ( )F t f t t? ? ? ?是注 與不定積分不同之處 : 定積分換元后不一定要 例 4 20 2d .1xx x求 ??解 21222 222 1 200 20d 1 d ( 1 ) 1 2 ( 1 )22( 1 )1x x x xxx?? ? ? ?????.15 ?? （不變元 ,不變限） 元積分法時，引入了新變量，此時須改變積分限 . 保留原積分變量，因此不必改變積分限 。用第二換 用原變量代回 .一般說來，用第一換元積分法時， 例 5 40 2 xx求 ? ??解 2 12 1 , , d d , 22tt x x x t t x設 則 ?? ? ? ? ?2 3。 0 1 , 4 x t x t?? ? ? ? ?時 時 于是43 20121d ( 3 ) d221x x t tx? ?????3 311 ( 3 )23t t?? 1 2 7 1[ ( 9 ) ( 3 ) ]2 3 3? ? ? ?.322? （變元 ,變限） 例 6 π 350 sin sin d .x x x求 ??解 π 350 sin sin dx x x??3π20 sin | c o s | dx x x? ? 33ππ222π02si n c os d si n ( c os ) dx x x x x x? ? ???33π π222 π0 2si n d ( si n ) si n d ( si n )x x x x?? π π55222π0 222sin sin55xx? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?2 2 4( ) .5 5 5? ? ? ?（必須注意偶次根式的非負性） 積分的分部積分公式： ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) d .bb baaau x v x x u x v x u x v x x??????證 因為 uv 是 vuvu ??? 在 [ a, b ] 上的一個原函數 , ( ( ) ( ) ) dba u x v x x?? ? ( ) ( ) .bau x v x?移項后則得 所以 ( ) ( ) d ( ) ( ) dbbaau x v x x u x v x x?? ???( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) d .bb baaau x v x x u x v x u x v x x??????定理 （定積分分部積分法） 若 u(x),v(x)為 [a, b] 上的連續(xù)可微函數 ,則有定 例 7 120 ar c sin d .xx?求解 11 1222000 2dar c si n d ar c si n1xxx x x xx?????11222201 π 1 ( 1 ) d ( 1 )2 6 2 xx?? ? ? ? ??1220π 112 x? ? ?π 3 1.1 2 2? ? ?例 8 π20 sin d .n xx求 ?解 π20 sin dnnJ x x? ?π π1 2 22 200sin c o s ( 1 ) sin c o s dnnx x n x x x??? ? ? ? ?π π22200( 1 ) sin d ( 1 ) sin dnnn x x n x x?? ? ? ???.)1()1( 2 nn JnJn ???? ?于是 21 , 2 .nnnJ J nn ????π200πd,2Jx???π210 sin d 1 ,J x x???22 1 2 3 1 π ( 2 1 ) ! ! π ,2 2 2 2 2 ( 2 ) ! ! 2mm m mJm m m? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??212 2 2 2 ( 2 ) ! !1,2 1 2 1 3 ( 2 1 ) ! !mm m mJm m m??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?1 , 2 , .m ?其中 若 u(x),v(x) 在 [a, b] 上有 (n+1) 階連續(xù)導函數 ,則 ( 1 )( ) ( ) db na u x v x x??( ) ( 1 )[ ( ) ( ) ( ) ( )nnu x v x u x v x??? ? ? ? ? ?1 ( 1 )( 1 ) ( ) ( ) d .bnna u x v x x???? ?三、泰勒公式的積分型余項 由此可得以下帶積分型余項的泰勒公式 . ()( 1 ) ( ) ( ) ] bnnau x v x??( ) ( ) ( ) ,nnf x P x R x??0( 1 )1( ) ( ) ( ) d .!x nnn xR x f t x t tn????00( ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) ,nx U x u t x t v t f t t x? ? ? ?證 設在階連續(xù)導數 , 則 ( ) ( ) ,nP x f x n為 的 階泰勒多項式 余項為其中,x與 之間 則 定理 00( ) ( ) 1f x x U x n ?設 在 的某鄰域 內有.d))((!1)(0)1(? ?? ?xxnnn ttxtfnxR其中注 由推廣的積分第一中值定理 ,可得拉格朗日型 0 0 0! ( ) ! [ ( ) ( ) ( )n f x n f x f x x x?? ? ? ? ? ? ? ?()00() ( ) ] ! ( ) ,!nnnfx x x n R xn? ? ?0 0! ( ) ] 0 ( ) dxxx xn f t f t t? ? ??0( 1 )( ) ( ) dx nnx x t f t t???( ) 1 ( 1 )[ ( ) ( ) ( ) ( )n n n nx t f t n x t f t??? ? ? ? ? ? ? ?由積分第一中值定理 ,可得 0( 1 )1( ) ( ) ( ) d!x nnn xR x f t x t tn????( 1 )01 ( ) ( ) ( ) ,!nnf x x xn ???? ? ?0( 1 )1: ( ) ( ) ( ) d!x nnn xR x f t x t tn????余項0( 1 )1 ( ) ( ) d!xnnxf x t tn ???? ?( 1 ) 101 ( ) ( ) .( 1 ) !nnf x xn ????))((!1)( 00)1( xxxfnxR nn ??? ? ?0 0 0[ ( ) ] ( )nx x x x x x?? ? ? ? ?.)()1) ) (((!1 1000)1( ?? ????? nnn xxxxxfn ??此式稱為泰勒公式的 柯西型余項 . 00 ( ) , 0 1 ,x x x? ? ? 則? ? ? ? ?若記 例 9 計算 解 ? ???a adxxax0 22 )0(.1令 ,s in tax ?ax ? ,2??? t 0?x ,0?? t,c o s t dtadx ?原式 ????? 20 22 )s i n1(s i nc o s dttatata????20 c o ss i nc o s dtttt? ? ?????????? 20 c o ss i ns i nc o s121 dttttt? ? 20c o ss i nln21221 ?????? ??證 ,)()()(00? ??? ? ??aaaa dxxfdxxfdxxf在 ? ?0 )(a dxxf 中令 tx ?? , 例 10 當 ) ( x f 在 ] , [ a a ? 上連續(xù)，且有 ① ) ( x f 為偶函數，則 ? ? ? ? a a a dx x f dx x f 0 ) ( 2 ) ( ； ② ) ( x f 為奇函數，則 ? ? ? a a dx x f 0 ) ( . ?? ?0 )(a dxxf ? ??? 0 )(a dttf ,)(0? ?a dttf① )( xf 為偶函數，則 ),()(