【正文】 點 的 某 鄰 域 內(nèi) 有 定 義 且),()(lim 00xfxfxx ?? )1(由定義 1知 ， 我們是通過函數(shù)的極限來定義連續(xù) 00( ) ( ) .f x x f x僅存在, 而且其值恰為 在點 的函數(shù)值一、函數(shù)在一點的連續(xù)性 性的，換句話說連續(xù)就是指 0()f x x在點 的極限不0( ) .f x x則 稱 在 點 連 續(xù)0l im | | 0 ( 0 ) .x xf? ??例如： ( ) | | 0f x x x??在 處 連 續(xù) ，這是因為 ||yx?xyO0,x ?在 處 不 連 續(xù) 這 是 因 為).0(0)(l i m 0 fxfx ???函數(shù) ,0( ) ( 0 ),0xxf x aax ????? ??axyO由極限的定義 ,定義 1可以敘述為 :對于任意正數(shù) e , )2(.)()( 0 e?? xfxf00( 2 ) , 0x x x x ?? ? ? ?注 意 到 式 在 時 恒 成 立 因 此存在 ? 0, 00 | | ,xx ?? ? ?當 時 有這樣就得到函數(shù) f (x) 在點 x0 可改寫為 0xx ??? ，.e??連續(xù)的 定義,)()( 0 e?? xfxf0( ) .f x x則 稱 在 點 連 續(xù)連續(xù)性的另外一種表達形式 . 定義 2 0( ) .f x x設(shè) 在 點 的 某 個 鄰 域 內(nèi) 有 定 義如果 0 ,x為 了 更 好 地 刻 劃 函 數(shù) 在 點 的 連 續(xù) 性 下 面 引 出,0xxx ???設(shè)).()()()( 0000 xfxxfxfxfyyy ?????????對 任意的 存在 當 時 0,e ? 0,? ? 0 ,xx ???0 :x則 函 數(shù) 在 點 連 續(xù) 的 充 要 條 件 是)3(.0l i m 0 ???? yx應(yīng)的函數(shù) (在 y0 處 )的增量 . 0( ) ,x x y??這 里 我 們 稱 是 自 變 量 在 處 的 增 量 為 相xy0 0x xx ??0)( xfy ?x?y?為狄利克雷函數(shù) . 證 所以因為 ,0lim,1)(,0)0(0 ??? ? xxDf x).0(0)(lim)(lim 00 fxxDxf xx ??? ??( ) 0 .f x x ?故 在 處 連 續(xù)注意 :上述極限式絕不能寫成 .0)(l i ml i m)(l i m 000 ?? ??? xDxxxD xxx例 1 ( ) ( ) 0 ,f x x D x x??證 明 在 處 連 續(xù) 其 中()Dx由上面的定義和例題應(yīng)該可以看出 : 函數(shù)在點 x0 類似于左、右極限，下面引進左、右連續(xù)的概念 . 要求這個極限值只能是函數(shù)在該點的函數(shù)值 . 極限存在是函數(shù)連續(xù)的一個必要條件 )， 而且還 x0 連續(xù) ， 那么它在點 x0 必須要有極限 (這就是說 , 有極限與在點 x0 連續(xù)是有區(qū)別的 . 首先 f (x) 在點 定義 3 00( ) ( )f x x U x?設(shè) 函 數(shù) 在 點 的 某 個 右 鄰 域) ) ,()(lim()()(lim 0000xfxfxfxf xxxx ?? ?? ??0( ) ( ) .f x x則 稱 在 點 右 左 連 續(xù)很明顯 , 由左、右極限與極限的關(guān)系以及連續(xù)函數(shù) 0 既是左連續(xù)，又是右連續(xù) . 點 x 定理 0()f x x函 數(shù) 在 點 連 續(xù) 的 充 要 條 件 是 ：f 在 ))(( 0xU ?左鄰域 有定義，若 的定義可得： 例 2 討論函數(shù) 2, 0()2, 0xxfxxx????? ??? ?在 處 的 連 續(xù) 性解 因為 ?所 以 在 處 左 連 續(xù)又因為00l im ( ) l im ( 2 ) 2 ( 0 ) ,xx f x x f???? ? ? ? ?00l im ( ) l im ( 2 ) 2 ( 0 ) ,xxf x x f????? ? ? ? ???00f x x所 以 在 處 不 右 連 續(xù) , 從 而 在 不 連 續(xù) .二、間斷點的分類 定義 4 00( ) ( ( ) )f x U x設(shè) 函 數(shù) 在 的 某 空 心 鄰 域 內(nèi) 有定義 .若 f 在點 x0 無定義 ,或者在點 x0有定義但卻 由此 ,根據(jù)函數(shù)極限與連續(xù)之間的聯(lián)系 , 如果 f 在 點 x0 不連續(xù) , 則必出現(xiàn)下面兩種情況之一 : 或不連續(xù)點 . 在該點不連續(xù) ,那么稱點 x0 為函數(shù)的一個間斷點 00( i ) 。 第一類間斷點 :可去型 ,跳躍型 . 第二類間斷點 :無窮型 ,振蕩型 . 間斷點 (見下圖 ) 可去型 第一類間斷點 o y x 跳躍型 無窮型 振蕩型 第二類間斷點 o y x 0xo y x 0xo y x 0x作業(yè) 習(xí)題 5 167。f x f x e??情形 2. 注意到 ,1?? 所以若情形 1 不成立 , 必然有 , 21 XxXx ??.),[)(, 上一致連續(xù)在證得綜上 ??axf于是 12| ( ) ( ) | .f x f x e??作業(yè) 習(xí)題 1 1 1 16 167。 (iii) 反三角函數(shù) 。1,0 ?? ba (2) eba ?? ,1 .作業(yè) 習(xí)題 1 。 以上六種函數(shù)稱為 基本初等函數(shù) . 因為連續(xù)函數(shù) 定義 3 由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算與復(fù) 上是連續(xù)的 . 合之后產(chǎn)生的新函數(shù)在其定義區(qū)間（如果存在） 的基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和有限次復(fù) 的四則運算與復(fù)合運算是保連續(xù)的，所以由上面 合運算 ,并由一個數(shù)學(xué)式子表達的函數(shù)稱為 初等函數(shù) . 例 3 求極限 .c o s )1l n(lim0 xxx??.00c os )01l n(c os )1l n(lim0????? xxx定理 初等函數(shù)在其 有定義的區(qū)間上 是連續(xù)的 . 解 因為 xxco s )1ln ( ? 是初等函數(shù) , 所以在 處連續(xù) , 0x?從而 初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù) , 在其定義域內(nèi)不一定連續(xù) 。 (vi) 對數(shù)函數(shù) . (v) 指數(shù)函數(shù) 。 xy s i n?正弦函數(shù) 的最大值為 1,最小值為 1。 。 的概念 。 Chapt 4 函數(shù)的連續(xù)性 數(shù)學(xué)分析的研究對象是函數(shù)，主要是連續(xù)函數(shù) (在坐標平面上的圖象是一條連綿不斷的曲線）。 教學(xué)目標： 。f x x在 點 無 定 義 或 者 在 點 的 極 限 不 存 在等于 f (x0). 0( ii ) ,fx在 點 有 定 義 且 極 限 存 在 但 極 限 值 卻 不根據(jù)上面的分析 , 我們對間斷點進行如下分類： 1. 可去間斷點 : 若 0li m ( ) ,xx f x A? ? 存 在0fx而 在 點0, ( ) ,f x A?無定義 或者有定義但 0xf則 稱 是 的一個可去間斷點 . 2. 跳 躍 間 斷 點 ： 若,)(l i m0Axfxx ???0l i m ( )xx f x B?? ?0xf則稱點 為 的一個跳躍間斷,AB?都存在 但注 x0 是 f 的 跳躍間斷點與函數(shù) f 在點 x0 是 否有定 點 . 3. 第二類間斷點 : 若 f 在點 x0 的左、右極限至少 可去間斷點和跳躍間斷點統(tǒng)稱為 第一類間斷 點 . 義 無關(guān) . 0 .xf則 稱 是 的 一 個 第 二