數(shù)學(xué)分析函數(shù)極限無(wú)窮大量與無(wú)窮小量(文件)
【正文】 ,12222?? byax它的漸近線方程為 .xaby ??xaby?xaby ??12222 ?? byaxo xy近線問(wèn)題 . 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 下面給出漸近線的一般定義 . 定義 4 設(shè) L 是一條直線 , 若曲線 C 上的動(dòng)點(diǎn) P 沿 曲線無(wú)限遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí) , 點(diǎn) P 與 L 的距離趨于零，則 稱直線 L 為曲線 C 的一條漸近線 (如圖 ). bkxy ???PNML )( xfy ?C xyO返回 后頁(yè) 前頁(yè) .1)(|c o s||||| 2k bkxxfPMPN ? ????? ?由漸近線的定義， 或時(shí) (???x ????? xx ,01)(lim 2 ?? ????? kbkxxfx即時(shí)） ,0, ?PN首先 , 我們來(lái)看如何求曲線 的斜漸近線 . )( xfy ?如圖所示 , 設(shè)斜漸近線 L 的方程為 .bkxy ?? 曲 線上的動(dòng)點(diǎn) 至直線 L 的距離為 ),( yxP返回 后頁(yè) 前頁(yè) 從而 .])([l i m kxxfb x ?? ???又 xkxxfkxxfxx???????? ???????)(lim)(lim,0lim ????? xbx所以， .)(lim x xfkx ????返回 后頁(yè) 前頁(yè) 這樣就確定了斜漸近線的兩個(gè)參數(shù)： ,)(lim x xfkx ???? .])([lim kxxfbx ?? ???這是沿 x 軸正向的漸近線的方程 . 顯然沿 x 軸負(fù)向 ,)(lim x xfkx ???? .])([lim kxxfb x ?? ???同樣也可以求出沿著 x ? － ? 的漸近 線方程 . 的斜漸近線的斜率和截距分別為 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 注 特別當(dāng) k = 0 時(shí)，該漸近線稱為水平漸近線 . )()(l i m ?????? Axfx.))(lim,)(lim( AxfAxf xx ?? ?????滿足若函數(shù) )( xf??? )(l i m0xfxx,))(lim)(lim(00???? ????xfxfxxxx或則稱 x = x0 是曲線 的垂直漸近線 . )( xfy ?顯然，曲線 y = f (x) 有水平漸近線的充要條件是 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 例 9 求曲線 3223??? xxxy 的漸近線 . .)(l i m,)(l i m 31 ???? ??? xfxf xx并且 f (x) 在其他點(diǎn)處均有有限極限，所以求得垂 .3,1 ??? xx解 易見,)1)(3(3??? xxx32)( 23??? xxxxf設(shè)直漸近線為 : 返回 后頁(yè) 前頁(yè) ,1)1)(3(l i m)(l i m2???????? xxxxxfxx又 。f x x在 點(diǎn) 無(wú) 定 義 或 者 在 點(diǎn) 的 極 限 不 存 在等于 f (x0). 0( ii ) ,fx在 點(diǎn) 有 定 義 且 極 限 存 在 但 極 限 值 卻 不根據(jù)上面的分析 , 我們對(duì)間斷點(diǎn)進(jìn)行如下分類： 1. 可去間斷點(diǎn) : 若 0li m ( ) ,xx f x A? ? 存 在0fx而 在 點(diǎn)0, ( ) ,f x A?無(wú)定義 或者有定義但 0xf則 稱 是 的一個(gè)可去間斷點(diǎn) . 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 2. 跳 躍 間 斷 點(diǎn) ： 若,)(l i m0Axfxx ???0l i m ( )xx f x B?? ?0xf則稱點(diǎn) 為 的一個(gè)跳躍間斷,AB?都存在 但注 x0 是 f 的 跳躍間斷點(diǎn)與函數(shù) f 在點(diǎn) x0 是 否有定 點(diǎn) . 3. 第二類間斷點(diǎn) : 若 f 在點(diǎn) x0 的左、右極限至少 可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為 第一類間斷 點(diǎn) . 義 無(wú)關(guān) . 0 .xf則 稱 是 的 一 個(gè) 第 二 類 間 斷 點(diǎn)有一個(gè)不存在 , 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 證 因?yàn)? .一個(gè)可去間斷點(diǎn)例 3 處不連續(xù)，在 0?x??????0001)(xxxf試證函數(shù)0 ( )x f x? 是 的所以 并且 是 的一個(gè)可去間斷點(diǎn) . 0x ? ()fx1xyO0l i m ( ) 1 ( 0 ) ,x f x f? ??返回 后頁(yè) 前頁(yè) 00( ) ( ) .A g x x F x?在 時(shí) ， 恒 為 的 一 個(gè) 可 去 間 斷 點(diǎn)那么函數(shù)注 0( ) ,g x x x?對(duì) 于 任 意 函 數(shù) 若 它 在 處 連 續(xù) ，1. 00( ) ,(),g x x xFxA x x???? ??返回 后頁(yè) 前頁(yè) 0()f x x義 在 點(diǎn) 的 值 為),(lim0xfxx ? 那 么 它 就 在 點(diǎn)例 4 討論函數(shù) 1/1, 0,e1()00,x xfxx????? ?? ??在 x ? 0 處 是否連續(xù)？若不連續(xù)，則是什么類型的 x0是 的可去間斷點(diǎn) ,那么只要重新定 ()fx x0 連續(xù) . 間斷點(diǎn)？ 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 10011li m ( ) li m li m 0 ( 0 ) ,e1e1 yyxx xf x f?? ? ? ???? ? ? ???所以 f (x) 在 x ? 0 處右連續(xù)而不 左連續(xù) ,從而不 10011li m ( )
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