數(shù)學(xué)分析之?dāng)?shù)列極限-預(yù)覽頁
【正文】 { } , { }nna a a若 數(shù) 列 收 斂 到 則 的 任 意 子 列{ } .knaa也 收 斂 到證 ?? ? ? ? ? ? ? ?li m . 0, , , .n a a N n N a a設(shè) 則 當(dāng)??{ } { } . ,kn n ka a n k?設(shè) 是 的 任 意 一 個 子 列 由 于 因 此, , .kknk N n k N a a ?? ? ? ? ?時 亦 有 這 就 證 明 了l i m .knk aa?? ?注 2 . 8由 定 理 可 知 , 若 一 個 數(shù) 列 的 兩 個 子 列 收 斂于 不 同 的 值 , 則 此 數(shù) 列 必 發(fā) 散 .例 7 lim nn aa?? ?求 證 的 充 要 條 件 是.limlim 212 aaa nnnn ?? ?????證 (必要性 ) l i m 0, , ,nn a a N n N??? ? ? ? ? ?設(shè) ， 則 時.|| ??? aa n所以因為 ,12,2 NnNn ???，??? || 12 aa n .|| 2 ??? aa n2 1 2( ) l i m l i m , 0, ,kkkk a a a N??? ? ? ?? ? ? ? ?充 分 性 設(shè) 則kN?當(dāng) 時 ， 12 k | a a | ??? ，2k| a | .??? 2 ,N K n N??令 當(dāng) 時 , 則 有| | ,naa ???l i m .nn aa?? ?所 以例 8 1( 1 ) ( 1 ) . { } .nnnn??若 = 證 明 數(shù) 列 發(fā) 散解 顯 然21lim lim ( 1 ) 1 .2kkka k? ? ? ?? ? ?因此 , { } .na數(shù) 列 發(fā) 散211lim lim ( 1 ) 1 。na a a a? ? ? ?顯然 因 故 設(shè)解 0 ,nnaa? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?這就證明了 l i m .nn a ??? ?110,22 nnnnaaaa?????? ? ?2 2 2 , 1 .A A A A? ? ? ? ?，并解出}{ na由此得到 有上界 2 , lim .nn aA?? ?故極限 存在l i m 2 .nn a?? ?1 2 2 2 ? ? ? ? ? ?1, 2 2 ,a ??顯然 2,na ?設(shè)則由極限的不等式性 , 知道 , 所以 0A?.}{ 遞增所以 na下面再來證明此數(shù)列有上界 . 于是由 1li m li m 2 ,nnnnaa?? ? ? ???可得 例 2 下面的敘述錯在哪兒？ .22 11 nnn aa ?? ??因為顯然有 1 , { } .nnaa? 所 以 遞 增l i m ,nn aA?? ?設(shè)2 , 1 , 2 , ,nnan??“ 設(shè) 則2 0 ,A A A? ? ?li m 2 0 .nn ?? ?即 ”從而得出 紹 另 一 個 重 要 的 無 理 數(shù) π以 前 知 道 圓 周 率 是 一 個 重 要 的 無 理 數(shù) , 現(xiàn) 在 來? ? 1( 1 ) nne n考 察 數(shù) 列 的 收 斂 性 , 下 面 的 證 法????????利 用 二 項 式 展 開 , 得1 1 2 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) , ( 1 )!nn n n n?? ? ? ? ?是最基本的 , 而教材上的證法技巧性較強(qiáng) . 21 ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 112 ! !n nn n n nennn nn??? ? ? ? ?1 1 1 1 1 21 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1! 2 ! 3 !n n n? ? ? ? ? ? ?1 1 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) .( 1 ) ! 1 1 1nn n n n? ? ? ?? ? ? ?由此得 11 nne ??的 前 項 小 , 而 的 最 后 一 項 大 于 零 . 因 此? 1 ,n n ne e e把 和 的 展 開 式 作 比 較 就 可 發(fā) 現(xiàn) 的 展 開11 1 1 1 1 21 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1! 2 ! 1 3 ! 1 1ne n n n? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?1 1 2 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 )! 1 1 1nn n n n?? ? ? ? ?? ? ??? 11 n式 有 項 , 其 中 的 每 一 項 都 比 的 展 開 式 中1 , 1 , 2 , .nne e n???{ e }n從 而 是 單 調(diào) 增 數(shù) 列 , 且1 1 1 11 . ( 2 )1! 2 ! 3 ! !ne n? ? ? ? ? ?211 1 11 1 3 ,2 22n ne ?? ? ? ? ? ? ?由 此{(lán) } . li m .nn nee ??這 就 證 明 了 又 是 有 界 數(shù) 列 于 是 存 在e,記 此 極 限 為 即1e lim ( 1 ) .nn n????*例 3 1 1 1 11 , 1 , 2 , ,1! 2 ! 3 ! !nsn n? ? ? ? ? ? ?設(shè)211 1 11 1 3 ,2 22n ns ?? ? ? ? ? ? ? ?證 {} ns顯 然 是 單 調(diào) 增 數(shù) 列 , 且 由 例 2 中 的 (2) 式 ,li m ,nn s??因 此 存 在 且 由 極 限 的 保 不 等 式 性e li m li m .nnnnes? ? ? ???1 1 1 111! 2 ! 3 ! !ne n? ? ? ? ? ?li m e .nn s?? ?證明 : 1 1 2 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ,!mm n n n?? ? ? ? ?, n因 此 在 上 式 中 兩 邊 令 得??,nm又 對 任 意 ?1 1 1 1 1 21 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1! 2 ! 3 !ne n n n? ? ? ? ? ? ?1 1 2 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 )!nn n n n?? ? ? ? ?1 1 1 1 1 21 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1! 2 ! 3 !n n n? ? ? ? ? ? ?.1 1 1 1e lim 11! 2 ! 3 ! !nmn es m??? ? ? ? ? ? ? ?,m ??當(dāng) 時 由 極 限 的 保 不 等 式 性 ,e lim .mm s???從 而1 1 1 1e lim lim ( 1 ) .1! 2 ! 3 ! !nnn s n? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?1 1 1 1e lim ( 1 ) ,1! 2 ! 3 ! !n n由 公 式 可 以 較 快??? ? ? ? ? ? 算 出 的 近 似 值由 于1 1 10,( 1 ) ! ( 2 ) ! ( ) !n m nss n n n m?? ? ? ? ? ?? ? ?,m ??令 得 到10 e , 1 , 2 , .!nsnnn? ? ? ?101 0 , e 2 . 7 1 8 2 8 1 8 ,ns? ? ?取 其 誤 差71010 e 1 0 .1 0 1 0 !s?? ? ? ??例 4 . : s u p ,S S a S設(shè) 是 有 界 數(shù) 集 證 明 若 則 存??{ } , li m .nn nx S x a????在 嚴(yán) 格 單 調(diào) 增 數(shù) 列 使 得證 0 , ,a S x S?? ? ? ?因 是 的 上 界 , 故 對 使 得. , ,x a a S x a?? ? ? ?又 因 故 從 而 x a?? ? ?111 , ,xS? ? ? ?現(xiàn) 取 則 使 得11 .a x a?? ? ?2 1 21min { , } , ,2 a x x S? ? ? ? ?再 取 則 使 得? ? ?12 ,a x a?2 2 1 1( ) .x a a a x x?? ? ? ? ? ?且 有1, nx ?一 般 地 按 上 述 步 驟 得 到 之 后 , 取11min { , } ,nn axn? ???,nxS?則 存 在 使 得? ? ? ,nna x a?11( ) .n n n nx a a a x x? ??? ? ? ? ? ?且 有{ } ,nxS ?于 是 得 到 它 是 嚴(yán) 格 單 調(diào) 的 , 滿 足? ? ? ,nna x a?li m .nn xa?? ?這 就 證 明 了? ? ? ?1 , 1 , 2 , .nnx a nn因 此 , ?二、柯西收斂準(zhǔn)則 定理 數(shù)列 }{ na 收斂的充要條件是 : 0 , ,N n m N? ??對于任意正數(shù) ，存在 ，當(dāng) 時 有.nmaa ???柯西準(zhǔn)則的充要條件可用另一種形式表達(dá)為： 滿足上述條件的數(shù)列稱為 柯西列 . | | .n n paa ????0 , 0 ,N n N?? ? ? ? ?當(dāng) 時，對任意 +N,p ? 均有 柯西（ Cauchy 17891857），法國數(shù)學(xué)家。 柯西是歷史上可數(shù)的大分析學(xué)家之一。 1821年，在拉普拉斯和泊松的鼓勵下，柯西出版了 《 分析教程 》 、 《 無窮小計算講義 》 、 《 無窮小計算在幾何中的應(yīng)用 》這幾部劃時代的著作?？挛鲿r代實數(shù)的嚴(yán)格理論還未建立起來，因此極限理論也就不可能完成。證明 nya ).0( ?? ?( 1 ) .ny證 是 單 調(diào) 增 加 的.121( 2 ) ?? ???? nnnn yayyay 有由 .12 ?????nnnn yayyay即有，于是則又對 nayaaynnn ???? ,.1??? aya n ? ? .收斂故 ny12l i m)3( ??? ??? nnnn yayly ，則由設(shè))0.(2 141,2 ?????? lallal 得兩邊取極限，有? ? .有界ny小結(jié) 數(shù)列 :研究其變
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