【正文】 柯西時代實數(shù)的嚴格理論還未建立起來，因此極限理論也就不可能完成。nnaa ?? ? ?( 2 ) 0 ,a ? 時 有| | | || | .nnnna a a aaaa a a a???? ? ? ??li m .nn aa?? ?故 得 證對于任意 0 , , , | | .nN n N a a??? ? ? ? ?當(dāng) 時于 是可得 : 例 4 0, li m 0, li m 1 .nn n nnna a a a? ? ? ?? ? ? ?求 證設(shè)證 l i m 0 ,nn aa?? ??因 為根據(jù)極限的保號性 , 存在 N, 當(dāng) nN 時 , 有 3 ,22na aa?? 即3 .22n nnnaaa??又因為 3l i m l i m 1 ,22n nnnaa? ? ? ???所以由極限的迫 li m 1 .n nn a?? ?斂性 , 證得 例 5 l i m ( 1 ) .1nnna aa?? ???求 極 限解 ( 1 ) | | 1 ,a ? li m 0 ,nn a?? ?因 為所以由極限四則 運算法則 , 得 liml i m 0 .1 1 l i mnnnnnnnaaaa??????????( 2 ) 1 ,a ? 11l i m l i m .221nnnnaa? ? ? ????( 3 ) | | 1 ,a ? li m ( 1 ) 0 ,nn a?? ?因故得 1l i m l i m1 1 1nnnnnaaa? ? ? ????11.1 l i m ( 1 )nna?????例 6 12, , , ma a a設(shè) 為 m 個正數(shù) , 證明 1 2 1 2lim m a x { , , , } .n n n nmmn a a a a a a?? ? ? ? ?12 ,n nn n nma a a a m a? ? ? ? ?證 12m a x { , , , } .ma a a a?設(shè) 由 li m li m ,nnnm a a a? ? ? ???以及極限的迫斂性 , 可得 1 2 1 2lim m a x { , , , } .n n n nmmn a a a a a a a?? ? ? ? ? ?定義 1 +{ } , { } N ,nkan設(shè) 為 數(shù) 列 為 的 無 限 子 集 且12 ,kn n n? ? ? ?則 數(shù) 列12, , , ,kn n na a a{ } , { }.knnaa稱 為 的 子 列 簡 記 為注 , { } { } { },kn n na a a由 定 義 的 子 列 的 各 項 均 選 自{ } { }knnaa且 保 持 這 些 項 在 中 的 先 后 次 序 . 中 的 第{ } , .n k kk a n n k?項 是 中 的 第 項 故 總 有定理 { } , { }nna a a若 數(shù) 列 收 斂 到 則 的 任 意 子 列{ } .knaa也 收 斂 到證 ?? ? ? ? ? ? ? ?li m . 0, , , .n a a N n N a a設(shè) 則 當(dāng)??{ } { } . ,kn n ka a n k?設(shè) 是 的 任 意 一 個 子 列 由 于 因 此, , .kknk N n k N a a ?? ? ? ? ?時 亦 有 這 就 證 明 了l i m .knk aa?? ?注 2 . 8由 定 理 可 知 , 若 一 個 數(shù) 列 的 兩 個 子 列 收 斂于 不 同 的 值 , 則 此 數(shù) 列 必 發(fā) 散 .例 7 lim nn aa?? ?求 證 的 充 要 條 件 是.limlim 212 aaa nnnn ?? ?????證 (必要性 ) l i m 0, , ,nn a a N n N??? ? ? ? ? ?設(shè) ， 則 時.|| ??? aa n所以因為 ,12,2 NnNn ???，??? || 12 aa n .|| 2 ??? aa n2 1 2( ) l i m l i m , 0, ,kkkk a a a N??? ? ? ?? ? ? ? ?充 分 性 設(shè) 則kN?當(dāng) 時 ， 12 k | a a | ??? ，2k| a | .??? 2 ,N K n N??令 當(dāng) 時 , 則 有| | ,naa ???l i m .nn aa?? ?所 以例 8 1( 1 ) ( 1 ) . { } .nnnn??若 = 證 明 數(shù) 列 發(fā) 散解 顯 然21lim lim ( 1 ) 1 .2kkka k? ? ? ?? ? ?因此 , { } .na數(shù) 列 發(fā) 散211lim lim ( 1 ) 1 。 ?????? ?? ?nn 1)1(1?????? ?? ?nn 1)1(1定性分析： 當(dāng) n無限增大時， 無限趨近于 1，數(shù) 1即所謂 的“極限”。 ，加深對數(shù)學(xué)的抽象性特點的認識；體驗數(shù)學(xué)概念形成的抽象化思維方法；體驗數(shù)學(xué)“符號化”的意義及“數(shù)形結(jié)合”方法； ； . 教學(xué)目標： 數(shù)列極限是整個數(shù)學(xué)分析最重要的基礎(chǔ)之一 ,它不僅與函數(shù)極限密切相關(guān) ， 而且為今后學(xué)習(xí)級數(shù)理論提供了極為豐富的準備知識 . 167。要想對數(shù)學(xué)分析這門學(xué)科的實質(zhì)有一個真正的了解和掌握，就必須準確掌握極限的概念和無窮小的分析方法。 極限思想方法是數(shù)學(xué)分析必不可少的一種重要方法，也是數(shù)學(xué)分析與初等數(shù)學(xué)的本質(zhì)區(qū)別之處。 1)1(1 1 ??? ?n n?????? ?? ?nn 1)1(1例如： ,101對 .10?n只須 ,1011)1(11?????nn要使即 自然數(shù) 10，當(dāng) n10時，有 .1011)1(1 1 ???? ?nn?,10001對 .1 0 0 0?n只須 ,1000 11)1(11 ???? ?nn要使,10000001對 .1 0 0 0 0 0 0?n只須 ,1000000 11)1(1 1 ???? ?n n要使… … 由不等式有 ，故只須 即可 . 以上還不能說明 任意小，并保持任意小，畢竟它們都還是確定的數(shù) . 1)1(1 1 ??? ?n n,0?? ?對 .1)1(1 1 才行要使 ????? ?n n??n1 ?1?n 自然數(shù) ，當(dāng) 時，便有 ??? ,0?即對 ]1[? ]1[??n.1)1(1 1 ????? ?n n?定量定義： 則稱數(shù) 1是 的極限 . 有時當(dāng)總?cè)魧?，Nn，N ????? ]1[,0 ??.1)1(1 1 ????? ?n n ?????? ?? ?n n 1)1(1三、收斂數(shù)列的定義 下面給出嚴格的 “ ? N ”數(shù)學(xué)定義 . 定義 1 {}na設(shè) 為一個數(shù)列 , a 為一個常數(shù) , 若對于 任意的正數(shù) ,總存在正整數(shù) N, 使當(dāng) n N 時 , 0??,|| ??? aa n則稱數(shù)列 收斂于 a , 又稱 a 為數(shù)列 的極限 , {}na {}na一般地說 ,對于數(shù)列 , 若當(dāng) n 充分變大時 , an {}na能無限地接近某個常數(shù) a , 則稱 收斂于 a . {}na記作 lim nn aa?? ?( , ) .na a n? ? ?或若 不收斂 , 則稱 為 發(fā)散 數(shù)列 . {}na {}na “? N ”說法 從 定義 及上面的例題我們可以看出 : 此外，又因 ? 是 任意正數(shù) , 所以 等?,2,3,2 ???1. ? 的任意性 : 定義中的 ? 用來 刻畫數(shù)列 {an} 的通 項與定數(shù) a 的接近程度 . 顯然正數(shù) ? 愈小 ,表示 a n 與 a 接近的程度愈高； ? 是任意的 , 這就表示 an 與 a 可以任意接近 .要注意， ? 一 旦 給出，在接下 來計算 N 的過程中， 它 暫時看作是確定不變的 . ??? || aa n可以用 ?Kaa n ?? || ( K 為某一正常數(shù) ) 來代替 . 定義 1, 那么對 ? ? 1 自然也可以驗證成立 . 均可看作任意正數(shù) , 故定義 1 中的不等式 2. N 的相對性 :從定義 1 中 又 可看出 , 隨 著 ? 的取值 不同 , N 當(dāng)然也會不同 . 但這并不意味著 N 是由 再有 , 我們還可以限定 ? 小于某一個正數(shù) ( 比如 ? 1 ). 事實上 , 對 0 ? 1 若能驗證 { an } 滿足 ,|| ??? aa n則當(dāng) n N1 = 2N 時 , 對于同樣的 ? , 更應(yīng)有 ? 惟一確定 . 例如 , 當(dāng) n N 時 , 有 求 N 的 “ 最佳性 ” . .|| ??? aa n也就是說 , 在這里只是強調(diào) N 的存在性 , 而不追 x1x2x 2?Nx1?Nx 3x數(shù)列極限的幾何解釋 : ??a ??aa.)(。他的特長是在分析學(xué)方面，他對微積分給出了嚴密的基礎(chǔ)。 數(shù)列極限 :極限思想、定義、幾何意義 。 1805年柯西入理工科大學(xué)， 1