【正文】 ,10。 . l i m 0 , ?nn u?? ?有 級 數(shù) 是 否 收 斂?? ????? n131211: 調(diào)和級數(shù)例如1123 ( 1 )2 3 4 1n nn?? ? ? ? ? ? ??11( 1 ) 1nnnn???? ??1( 1 ) 0 ,1l im l imnnnnnun?? ? ? ?? ? ??? 該級數(shù)發(fā)散 . ?討論 nnnss nn 2121112 ??????? ?? ,212 ?? nn., s其和為假設(shè)調(diào)和級數(shù)收斂)l i m ( 2 nnnss ???于是 ss ?? ,0?即調(diào)和級數(shù)發(fā)散該級數(shù)發(fā)散 .?)(210 ??? n便有 這是不可能的 ????????????????????????)21221121()16110191()81716151()4131()211(1mmm8項 4項 2項 2項 項 m221)1(1 ?? mm 項大于即前.該級數(shù)發(fā)散? 由性質(zhì) 4推論 ,調(diào)和級數(shù)發(fā)散 . 同時還可以做以下證明： 21每項均大于例 5 判斷級數(shù) 111nnnnnnn???????????的斂散性 . 解 因為 2121111111li m li m li m 1 0n nnnnnn nn n nnnn nnnn n n n? ? ? ? ? ??????? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ?????? ? ? ? ? ?? ? ? ?所以由級數(shù)收斂的必要條件知原級數(shù)發(fā)散 . 四、小結(jié) (1) 由定義 , 若 ss n ? , 則級數(shù)收斂 。 天下篇 》 “ 一尺之棰 ,日取其半 ,萬 世不竭”的例中 ,將每天截下那一部分的長度“加” 起來是 : ? ? ? ? ?231 1 1 1 ,2 2 2 2 n167。43,311??AP面積為周長為設(shè)三角形?,2,1)34( 11 ?? ? nPP nn]})91[(4{3 1121 AAA nnnn ??? ??1121211 )91(43)91(43913 AAAA nn ?? ?????????? ??,3,2?n周長為 面積為 ]})94(31)94(31)94(3131[1{ 221 ??????? nA ?第 次分叉： n于是有 ???? nn Plim )941311(lim 1?????AA nn .532)531(1 ??? A結(jié)論：雪花的周長是無界的，而面積有界． “ Koch雪花曲線”的性質(zhì)： 面積有限而周長無限 . 不要以為雪花曲線僅僅是人腦想出來的一種“病態(tài)”曲線，科學(xué)家們發(fā)現(xiàn)，這類曲線能應(yīng)用于研究自然界的許多現(xiàn)象，例如地球大陸的海岸線等 .這門新興的數(shù)學(xué)學(xué)科稱為 分形 ． 例 1 討論等比級數(shù) ( 幾何級數(shù) ) ?? ?????????nnnaqaqaqaaq20 )0( ?a 的收斂性 . 解 12 ?????? nn aqaqaqas ?qaqa n???1 ,11 qaqqa n????1q ? 時,1時當(dāng) ?q 0lim ??? nn q? qasnn ??? ?? 1l i m,1時當(dāng) ?q ???? nn ql i m? ??? ?? nn sl i m 收斂 發(fā)散 ,1時當(dāng) ?q,1時當(dāng) ??q??? nas n 級數(shù) 發(fā)散 ????? aaaa級數(shù)變?yōu)椴淮嬖趎n s??? lim 級數(shù) 發(fā)散 綜上 1q ?如 果 時01,1,nnqaqq??????? ???當(dāng) 時 收 斂 。 (3) ??? ??1 2)12(1n nn. 解 )1(!1)!(11nnuunn ????11?? n ),(0 ??? n.!11收斂故級數(shù) ???n n),( ???? n)2( !1010)!1(11nnuu nnnn ??????101?? n.10 !1發(fā)散故級數(shù) ???nnn)3( )22()12(2)12(limlim 1??????????? nnnnuunnnn? ,1?比值審斂法失效 , 改用比較審斂法 . ,12)12( 1 2nnn ???? ,112 收斂級數(shù) ???n n?.)12(2 11收斂故級數(shù) ??? ??n nn例 10 判別下列級數(shù)的斂散性： 21( ! )( i ) 。nu數(shù)列 單調(diào)遞減?? ?( i i ) l i m 0 ,nn u則級數(shù) (1)收斂 . 證 考察交錯級數(shù) (1)的部分和數(shù)列 {Sn},它的奇數(shù)項 和偶數(shù)項分別為 ? ? ?? ? ? ? ? ?2 1 1 2 3 2 2 2 1( ) ( ) ,m m mS u u u u u?? ? ? ? ? ? ?2 1 2 3 4 2 1 2( ) ( ) ( ) .m m mS u u u u u u由條件 (i), 上述兩式中各個括號內(nèi)的數(shù)都是非負(fù)的 , 2 1 2{ } { } .mmSS?從而數(shù)列 是遞減的, 而數(shù)列 是遞增的( ii )又由條件 知道從而 { [S2m, S2m1] }是一個區(qū)間套 .由區(qū)間套定理 ,存 2 1 2 20 0 ( ) ,m m mS S u m?? ? ? ? ? ??? ? ? ???2 1 2l i m l i m .mmmmS S S{ } , ( 1 ) .nS所 以 數(shù) 列 收 斂 即 級 數(shù) 收 斂推論 若級數(shù) (1)滿足萊布尼茨判別法的條件 , 則收斂 級數(shù) (1)的余項估計式為 ?? 1 .nnRu對于下列交錯級數(shù) , 應(yīng)用萊布尼茨判別法 , 容易 檢驗 它們都是收斂的 : 在惟一的實數(shù) S, 使得 ?? ? ? ? ? ? ??11 1 1 11 ( 1 ) 。 2 正項級數(shù) 收斂性是級數(shù)研究中最基本的問題 , 本節(jié)將對最簡單的正項級數(shù)建立收斂性判別法則 . 一、正項級數(shù)收斂性的一般判別原則 若數(shù)項級數(shù)各項的符號都相同 , 則稱它為同號級數(shù) . 對于同號級數(shù) , 只須研究各項都是由正數(shù)組成的級 數(shù) (稱正項級數(shù) ).若級數(shù)的各項都是負(fù)數(shù) ,則它乘以 1后就得到一個正項級數(shù) ,它們具有相同的斂散性 . 定理 nu?正項級數(shù) 收斂的充要條件是 :部分和 {}nS數(shù)列 有界 , 即存在某正數(shù) M, 對一切正整數(shù) n 有 ? .nSM??0 ( 1 , 2 , ) ,iui由于證 所以 {Sn}是遞增數(shù)列 .而 單調(diào)數(shù)列收斂的充要條件是該數(shù)列有界 (單調(diào)有界 定理 ).這就證明了定理的結(jié)論 . 僅靠定義和定理 容易的，因此要建立基于級數(shù)一般項本身特性的收 斂性判別法則 . ??nnuv設(shè) 和 是兩個正項定理 (比較原則 ) 級數(shù) , 如果存在某正數(shù) N, 對一切 n N 都有 ? ( 1 )nnuv則 ( i ) , 。43,311??AP面積為周長為設(shè)三角形觀察雪花分形過程 第一次分叉： 。913,3411212AAAPP?????面積為周長為依次類推 。nu?則級數(shù) 收斂? 0( ii ) ,nN若對一切 成立不等式1 , ( 10 )n nu ?.nu?則級數(shù) 發(fā)散于情形 (ii), 由 (10)式可得 1 1 .nnu ???? , nnu顯然當(dāng) 時不可能以零為極限 , 因而由級數(shù) 收斂的必要條件可知 , 級數(shù) nu? 是發(fā)散的 . 證 由 (9)式有 ,nnul? 因為等比級數(shù) 11nll當(dāng) ???,時 收 斂 故由比較原則 , 這時級數(shù) nu? 也收斂 , 對 li m , ( 11 )n nn ul?? ?( i ) 1 , 。n n n nu p u q當(dāng)時0 , 0 , 0 .n n n n nu p q u u當(dāng) 時 從而? ? ? ? ? ?0 , 0 , ( 9 )n n n np u q u? ? ? ?, . ( 1 0 )n n n n n np q u p q u? ? ? ?要把一般項級數(shù) (5)分解成正項級數(shù)的和 . 為此令 第三步 證明絕對收斂級數(shù) (7)的和也等于 S. 根據(jù)第 一步的證明 , 收斂的正項級數(shù)重排后和不變 , 所以先 ? ? ?? ? ? .n n nS u p q對于級數(shù) (5)重排后所得到的級數(shù) (7), 也可按 (8)式的 ????? ? ? ,n n nv p q??? ? ? ?,n n n np q p q顯然 分別是正項級數(shù) 的重排,辦法 , 把它表示為兩個收斂的正項級數(shù)之差 其和不變 , 從而有 ??? ? ? ? ?? ? ? ? ? .n n n n nv p q p q S??,nnpq由級數(shù) (5)絕對收斂 , 及 (9)式 , 知 都是收 斂的正項級數(shù) . 因此 注 定理 . 條件收斂級 數(shù)重排后得到的新級數(shù) ,不一定收斂 , 即使收斂 ,也 不一定收斂于原來的和 . 更進(jìn)一步 , 條件收斂級數(shù) 適當(dāng)重排后 , 既可以得到發(fā)散級數(shù) , 也可以收斂于 任何事先指定的數(shù) . 例如級數(shù) (2)是條件收斂的 , 設(shè) 其和為 A, 即 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 1 1 1 1 1 1 1 1 1( 1 ) 1 .2 3 4 5 6 7 8n An1 ,2乘以常數(shù) 后 有?? ? ? ? ? ? ?? 11 1 1 1 1 1( 1 ) .2 2 4 6 8 2n An? ? ? ? ? ? ?1 1 1 1 1 2 5 7 4 2 A將上述兩個級數(shù)相加 , 得到的是 (2)的重排 : 也可以重排 (2)使其發(fā)散 . 2. 級數(shù)的乘積 ??? ,nna u a u? nu由定理 , 若 為收斂級數(shù) , a為常數(shù) , 則 由此可以立刻推廣到收斂級數(shù) ???1nnu 與有限項和的乘 積 ,即 ??? ? ?? ? ? ?? ? ?121 1 1( ) ,mm n k nn n ka a a u a u那么無窮級數(shù)之間的乘積是否也有上述性質(zhì) ? ? ? ? ? ? ?? 12 , ( 1 1 )nnu u u u A12 . ( 1 2 )v v v v B? ? ? ? ? ??將級數(shù) (11)與 (12)中每一項所有可能的乘積列成下 設(shè)有收斂級數(shù) 表 : 1 1 1 2 1 3 12 1 2 2 2 3 23 1 3 2 3 3 31 2 3( 13 )nnnn n n n nu v u v u v u vu v u v u v u vu v u v u v u vu v u v u v u vijuv這些乘積 可以按各種方法排成不同的級數(shù) , 常 用的有按正方形順序或按對角線順序 . 1 1 1 2 1 3 12 1 2 2 2 3 23 1 3 2 3 3 31 2 3nnnn n n n nu v u v u v