【文章內(nèi)容簡介】 x ? 先觀察函數(shù) 和函數(shù) 當(dāng) 1)( ?? xxf11)( 2???xxxg1?x yy2 21 1o ox xx x x x正在演示 1)( ?? xxf11)(2??? xxxg 時(shí)的變化趨勢(shì) 如 03lim ???? xx 021l i m ???? xx 時(shí)函數(shù)的極限 0xx ? 先觀察函數(shù) 和函數(shù) 當(dāng) 1)( ?? xxf11)( 2???xxxg1?x yy2 21 1o ox xx x x x正在演示 1)( ?? xxf11)(2??? xxxg 時(shí)的變化趨勢(shì) 如 03lim ???? xx 021l i m ???? xx 時(shí)函數(shù)的極限 0xx ? 先觀察函數(shù) 和函數(shù) 當(dāng) 1)( ?? xxf11)( 2???xxxg1?x yy2 21 1o o1)( ?? xxfx xx x演示結(jié)束 x x易見當(dāng) 時(shí)有 211)( 2 ???? xxxg1?x11)(2??? xxxg 時(shí)的變化趨勢(shì) 如 03lim ???? xx 021l i m ???? xx 時(shí)函數(shù)的極限 0xx ? 先觀察函數(shù) 和函數(shù) 當(dāng) 1)( ?? xxf11)( 2???xxxg1?x 如 211lim,21lim211???????xxxxx 注意兩點(diǎn) (1) 意思是 無限靠近于 ,但 , 因此 點(diǎn)有無極限與函數(shù)在該點(diǎn)有無定義毫無關(guān)系 . 0xx?x 0x0xx? 定義 : 如果存在常數(shù) A, 使得當(dāng) 無限接近于 時(shí) , 有 趨近于 A, 則稱 A為當(dāng) 時(shí)函數(shù) 的極限 ,記作 Axfxx ?? )(lim00xx ?x 0x)(xf )(xf 稱 時(shí)函數(shù) 的極限為左極限 , 記作 ??0xx )(xf)(l i m0xfxx ??????????時(shí)點(diǎn)的右邊趨向于從當(dāng)時(shí)點(diǎn)的左邊趨向于從當(dāng)0000000 xxxxxxxxxxxx(2) 稱 時(shí)函數(shù) 的極限為右極限 ,記作 ?? 0xx )(xf)(l i m0xfxx ?? 0x)( 00xxxx???左極限 右極限 )( 00xxxx??? 解 因?yàn)? 1)1(l i m)(l i m00 ???? ?? ?? xxf xx1)1(l i m)(l i m 00 ??? ?? ?? xxf xx所以極限 不存在 )(lim 0 xfx ? 定理 極限 存在的充分必要條件是左極限 和右極限 均存在 , 且都等于 )(l i m0xfxx ?? )(l i m0xfxx ??AAxfxx ?? )(l i m0 例 1 設(shè) ????????0101)(xxxxxf)(lim 0 xfx ?討論極限 是否存在 ? (1) 唯一性 : 極限值如果存在 ,則必唯一 . 例 2 設(shè) 求 ???????1211)( 2xxxxxf )(lim1 xfx? 解 因?yàn)? 所以 存在 . 2)1(lim)(lim,22lim)(lim 21111 ????? ???? ???? xxfxxf xxxx2)(lim 1 ?? xfx例 3 討論極限 是否存在 ? xex10lim? 解 因?yàn)? 而 所以極限 不存在 . 0lim 10 ??? xex ????? xex10limxex10li m? 三 、 極限的性質(zhì) Axfxxx?? ??)(l i m)( 0。0?A 當(dāng) 時(shí)必有 0)( ?xf .0?A(2) 保號(hào)性 : 設(shè) 則當(dāng) 時(shí)必有 0)( ?xf當(dāng) 時(shí) 所以 ?? 0x ???x1????? xx e10lim當(dāng) 時(shí) 所以 ?? 0x ???x10lim10???xxe 法則 1. 代數(shù)和的極限等于極限的代數(shù)和 .即 ? ? )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxf ??? 法則 2. 乘積的極限等于極限的乘積 .即 )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxf ? 法則 3. 商的極限等于極限的商 (當(dāng)分母的極限不等于零時(shí) ) .即 )0)(( l i m)(lim )(lim)( )(lim ?? xgxg xfxg xf注意幾點(diǎn) 三、函數(shù)極限的運(yùn)算法則 (3) 法則 1和法則 2均可推廣到有限上去 ,得 (1) 只有當(dāng)法則中所有的極限均存在時(shí) ,法則才成立 . 法則 : 1?? ? )(lim)(lim)(lim)()()(lim 2121 xfxfxfxfxfxf nn ??????? ??法則 : )(lim)(lim)(lim)()()(lim 2121 xfxfxfxfxfxf nn ??????? ??2? 法則 4 函數(shù) n次冪的極限等于極限的 n次冪 .即 ? ? nn xfxf )(lim)(lim ???x (2) 符號(hào)下面沒有寫變化過程 ,意思是對(duì) lim0xx?和 均成立 特別當(dāng) 時(shí)法則 變?yōu)? )()()()(21 xfxfxfxf n ???? ? 2? (4) 當(dāng)法則 2中 時(shí)有 即常數(shù)因子可以提到極限號(hào)的外邊 . cxg ?)( )(l i m)(l i m xfcxfc ???二 、 應(yīng)用舉例 解 原式 12422434lim2lim34lim2lim3lim2222222?????????????????xxxxxxxxx解 原式 113)23(lim)32(lim33 ??????xxxx例 1 求極限 )423(l i m 22 ??? xxx例 2 求極限 2332lim3 ??? xxx 解 顯然該函數(shù)是一初等函數(shù) , 且 0點(diǎn)在其定義域內(nèi) ,因此 注意 : 顯然例 例 2中的極限值就等于其函數(shù)在極值點(diǎn)處的函數(shù)值 . 一般當(dāng) 為初等函數(shù)且 點(diǎn)在其定義域內(nèi)時(shí)有 )(xf 0x)()(lim 00xfxfxx ??解 原式 4121l i m)2)(2()1)(2(l i m22 ??????????? xxxxxxxx例 3 求極限 xexxx c o s1s i nl i m 20??例 4 求極限 423l i m222 ???? xxxx 例 5 求極限