數(shù)列極限和函數(shù)極限最終版(編輯修改稿)
2024-11-15 04:49 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 x0(1)若在某∪(x0)內(nèi)有f(x) g(x)，問是否必有A B ? 為什么？（2）證明：若AB,則在某∪(x0)內(nèi)有f(x) g(x).（其中n皆為正整數(shù)）：(1)lim x174。0xx11lim。(2)。nn+x174。0x1+xx1+xx+x2+L+xnn(3)lim。(4)limx174。0x174。0x1+x1x(5)limx174。165。[x](提示：參照例1)xx174。0x174。0x174。09．（1）證明：若limf(x3)存在，則limf(x)= lim f(x3)（2）若limf(x2)存在，試問是否成立limf(x)=limf(x2)?x174。0x174。0x174。0習(xí)題(x)的歸結(jié)原則,并應(yīng)用它證明limcos 174。+165。n174。+165。 為定義在[a,+165。)上的增(減): lim= f(x)存在的充要條件是f在n174。+165。[a,+165。)上有上(下).(1)敘述極限limf(x)的柯西準(zhǔn)則。n174。165。(2)根據(jù)柯西準(zhǔn)則敘述limf(x)不存在的充要條件,并應(yīng)用它證明limsin 174。165。n174。165?！?(x0):若對任何數(shù)列{xn}204?！?(x0)且limxn=x0,極限limf(xn)都n174。165。n174。165。存在,: ∪0(x0):f(x0－0)和f(x0+0)都存在,且f(x0－0)=supf(x),f(x0+0)=0x206。u(x0)0x206。un(x0)inff(x) D(x)為狄利克雷函數(shù),x0∈R證明limD(x)174。x0:若f為周期函數(shù),且limf(x)=0,則f(x)=0x174。+165。習(xí)題sin2xsinx3(1)lim。(2)limx174。0x174。0sinx2x(3)limx174。cosxxptanxsinxarctanxlim(5)lim。(6)。3x174。0x174。0xxsin2xsin2a1(7)limxsin。(8)lim。x174。+165。x174。axxa。(4)limx174。0tanx。xcosx2(9)lim。(10)limx174。0x174。01cosxx+11sin4x12x(1)lim(1)。(2)lim(1+ax)x(a為給定實數(shù))。n174。165。x174。0xx(3)lim(1+tanx)x174。0cotx。(4)lim231。230。1+x246。247。x174。01x232。248。(5)lim（x174。+165。3x+22x1a)。(6)lim(1+)bx(a,b為給定實數(shù))n174。+165。3x1x::(1)limnsinn174。165。233。x174。0n174。165。238。235。236。x2xx249。252。Lcos=1 2n253。22254。pn。(2)習(xí)題1． 證明下列各式(1)2x－x2=O(x)(x→0)。(2)x sinx=O(x)(x→0)。+(3)+x1=o(1)(x→0)。(4)(1+x)n= 1+ nx+o(x)(x→0)(n 為正整數(shù))(5)2x3 + x2=O(x3)(x→∞)。(6)o(g(x))177。o(g(x))=o(g(x))(x→x0)(7)o(g1(x))0(g2(x))=o(g1(x)g2(x))(x→x0)2． ：+x21x(1)lim(2)lim x174。01cosxx174。165。xcosxx3． 4． 求下列函數(shù)所表示曲線的漸近線：13x3+4(1)y =。(2)y = arctan x。(3)y = 2xx2x5． 試確定a的值，使下列函數(shù)與xa當(dāng)x→0時為同階無窮小量：(1)sin2x－2sinx。(2)－(1－x)。1+x(3)+tanxsinx。(4)x24x36． 試確定a的值，使下列函數(shù)與xa當(dāng)x→∞時為同階無窮大量：(1)x2+x5。(2)x+x2(2+sinx)。(3)(1+x)(1+x2)…(1+xn).7． 證明：若S為無上界數(shù)集，則存在一遞增數(shù)列{xn}204。s，使得xn→+∞(n→∞)8． 證明：若f為x→r時的無窮大量，而函數(shù)g在某U0(r)上滿足g(x)≥K0，則fg為x→r時的無窮大量。9． 設(shè) f(x)~g(x)(x→x0)，證明：f(x)－g(x)= o(f(x))或 f(x)－g(x)= o(g(x))總 練習(xí)題1． 求下列極限：1(x[x])lim([x]+1)(1)lim。(2)+x174。3x174。1(3)lim（x174。+165。a+xb+xaxbx)xxa(4)limx174。+165。(5)limxxax174。165。(6)lim+xx+xxx174。0(7)lim231。n246。230。m,m,n 為正整數(shù) n247。x174。11xm1x248。232。2． 分別求出滿足下述條件的常數(shù)a與b：230。x2+1246。(1)lim231。axb247。247。=0 x174。+165。231。x+1232。248。x(3)limx(2)limx174。165。x174。+165。x174。2)x+1axb)=0x+1axb=0x174。23． 試分別舉出符合下列要求的函數(shù)f：(1)limf(x)185。f(2)；(2)limf(x)不存在。4． 試給出函數(shù)f的例子，使f(x)0恒成立，而在某一點x0處有l(wèi)imf(x)=0。這同極限的x174。x0局部保號性有矛盾嗎？5． 設(shè)limf(x)=A，limg(u)=B，在何種條件下能由此推出x174。ag174。Alimg(f(x))=B?x174。a6． 設(shè)f(x)=x cos x。試作數(shù)列(1){xn} 使得 xn→∞(n→∞), f(xn)→0(n→∞)。(2){yn} 使得 yn→∞(n→∞), f(yn)→0(n→∞)。(3){zn} 使得 zn→∞(n→∞), f(zn)→0(n→∞).7． 證明：若數(shù)列{an}滿足下列條件之一，則{
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