【文章內(nèi)容簡介】 sin1在點(0 , 0)⑶ 二重極限存在時, , 由 , y)174。(0,0).可見全面極限存在 , 但兩個累次極限均不存在.|f(x,y)| 163。 |x|+|y|174。0 ,(x⑷ 兩個累次極限存在(甚至相等)222。/二重極限存在.(參閱例4和例8).綜上 , 二重極限、 若二重極限推論1 二重極限和兩個累次極限三者都存在時 , 兩個累次極限存在但不相等時 , , 另一個不存在 222。/⑵的例.(x,y)174。(x0,y0)limf(x,y)和累次極限limlimf(x,y)(或另一次序)都存在 , 174。x0y174。y0作業(yè)提示: P99 4167。 3 二元函數(shù)的連續(xù)性(4 時)一． 二元函數(shù)的連續(xù)（相對連續(xù)）概念：:定義(x,y) 236。xy22 , x+y185。0 ,22239。239。x+yf(x,y)=237。239。m , x2+y2=+m2證明函數(shù)f(x,y)在點(0 , 0)沿方向y= , 0yx2, 165。x+165。 ,例2f(x,y)=237。([1]P124 E4)0 , (x,y)在點(0 , 0)沿任何方向都連續(xù) , : 全增量、(即全面連續(xù))和單元連續(xù) :定義(單元連續(xù))二元連續(xù)與單元連續(xù)的關(guān)系: 參閱[1]P132 圖16—: 運算性質(zhì)、局部有界性、局部保號性、:二元初等函數(shù) , : :.(證).(證).(證)Ex[1]P136—137 1 ⑴—⑸，2，4，5；P137—1381，第三篇：多元函數(shù)的極限與連續(xù)多元函數(shù)的極限：x2y111)lim(4x+3y)；2）lim(x+y)sinsin；3）174。0x174。2x174。0x+yxyy174。0y174。1y174。02：若f(x，y)=xy，(x+y185。0)，求 lim233。limf(x，y)249。與lim233。limf(x，y)174。0234。235。y174。0y174。0235。x174。0x+(x，y)=4，證明：當(dāng)點(x，y)沿通過原點的任意直線(y=mx)趨于（0,0）時，函數(shù)f(x，y)23(x+y)存在極限，=(x，y)y(x，y)=2限制在區(qū)域，則函數(shù)f(x，y)在原點（0，0）+y{}： 1）lim3）lim(x+y)In(x+y)；4）limx174。0y174。022x+ysinxy；2）； limx174。1x2xy+y2x174。0xy174。2y174。4(1+4x2)(1+6y2)12x2+3y2x174。0y174。0.第四篇：一、多元函數(shù)、極限與連續(xù)解讀一、多元函數(shù)、極限與連續(xù) ㈠二元函數(shù) ．二元函數(shù)的定義：設(shè) D 是平面上的一個點集，如果對于每個點 P（x，y）∈ D，變量 按照一定法則總有確定的值與它對應(yīng)，則稱 是變量 x、y 的二元函數(shù)（或點 P 的函數(shù)），記為（或），點集 D 為該函數(shù)的定義域，x、y 為自為該函數(shù)值域。由此變量，為因變量，數(shù)集也可定義三元函數(shù)以及三元以上的函數(shù)。二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面。例如 面。㈡二元函數(shù)的極限⒈設(shè)函數(shù) f（x,y）在開區(qū)域（或閉區(qū)域）D 內(nèi)有定義，是 D 的內(nèi)點或邊界點，如果對于任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)，使得對于適合不等式，都有 的一切點是球心在原點，半徑為 1 的上半球成立，則稱常數(shù) A 為函數(shù)f（x,y）當(dāng)或 , 這里 時的極限，記作。為了區(qū)別一元函數(shù)的極限，我們把二元函數(shù)的極限叫做二重極限。⒉注意：二重極限存在是指 都無限接近A。因此，如果條定直線或定曲線趨于沿任意路徑趨于，函數(shù)沿某一特殊路徑，例如沿著一時，即使函數(shù)無限接近于某一確定值，我們也不能由此判定函數(shù)的極限存在。㈢多元函數(shù)的連續(xù)性 ．定義：設(shè)函數(shù) f（x，y）在開區(qū)間（或閉區(qū)間）D 內(nèi)有定義，是 D 的內(nèi)點或邊界點且。如果連續(xù)。如果函，則稱函數(shù) f（x，y）在點數(shù) f（x，y）在開區(qū)間（或閉區(qū)間）D 內(nèi)的每一點連續(xù)，那么就稱函數(shù) f（x，y）在 D 內(nèi)連續(xù)，或者稱 f（x，y）是 D 內(nèi)的連續(xù)函數(shù)。2 ．性質(zhì)⑴一切多元初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的；⑵在有界閉區(qū)域 D 上的多元連續(xù)函數(shù)，在 D 上一定有最大值和最小值；⑶在有界閉區(qū)域 D 上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在 D 上取兩個不同的函數(shù)值，則它在 D 上取得介于這兩 個值之間的任何值至少一次；⑷在有界閉區(qū)域 D 上的多元連續(xù)函數(shù)必定在 D 上一致連續(xù)。二、偏導(dǎo)數(shù)和全微分 ㈠偏導(dǎo)數(shù)⒈偏導(dǎo)數(shù)定義：設(shè)函數(shù)在點 的某一鄰域內(nèi)有定義，時，相應(yīng)地函數(shù)有增量存在，則稱此極限為處對 的偏導(dǎo)數(shù)，記作，當(dāng) 固定 在而 在處有增量，如果函數(shù)或 類似，函數(shù) 在點在點處對 的偏導(dǎo)數(shù)定義為，記作際中求，或。在實的偏導(dǎo)數(shù)，并不需要用新的方法，因為這里只有一個自變量在變動，另一個自變量是看作固定的，所以求 時只要將暫時看作常量而對 求導(dǎo)數(shù)；求 時，則只要將 暫時看作常量而對 求導(dǎo)數(shù)。偏導(dǎo)數(shù)可以推廣到二元以上的函數(shù) 注意：對于一元函數(shù)來說 可以看作函數(shù)的微分 分 之商，而偏導(dǎo)數(shù)的記與自變量微號是一個整體符號，不能看作分母與分子之商。⒉偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義：設(shè) 過 做平面，截此曲面得一曲線，此曲線在平面，則導(dǎo)數(shù)上的方程為為曲面上的一點，即偏導(dǎo)數(shù)對 軸的 斜率。同樣，偏導(dǎo)數(shù) 截得的曲線在點 的切線處，就是這曲線在點 處的切線 的幾何意義是曲面被平面 所對 軸的斜率。在區(qū)域 D 內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù)，都是，⒊高階偏導(dǎo)數(shù)：設(shè)函數(shù)，那么在 D 內(nèi) 的函數(shù)，如果這兩個函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)也存在，則稱它們是函數(shù) 的二階偏導(dǎo)數(shù)。按照對變量求導(dǎo)次序的不同有以下四個二階偏導(dǎo)數(shù)： ,。二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)。定理：如果函數(shù) 的兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù) 及 在區(qū)域 D 內(nèi)連續(xù)，那么在該區(qū)域內(nèi)這兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等。（即二階混合偏導(dǎo)數(shù)在連續(xù)的條件下與求導(dǎo)的次序無關(guān)。）㈡全微分⒈全微分定義：如果函數(shù)可表示為賴于、而僅與、有關(guān)，在點可微分，而稱在點 的全增量，其中 A、B