函數(shù)的極限及連續(xù)(編輯修改稿)
2025-06-12 01:41 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 2） ； （3）.解 （1）由反比例函數(shù)的圖形及性質(zhì)可知，當無限增大時，無限接近于0，所以=0；（2）由指數(shù)函數(shù)的圖形及性質(zhì)可知，，所以不存在.（3）由反正切函數(shù)的圖形及性質(zhì)可知，，所以不存在. 當時，函數(shù)的極限當自變量無限接近于某一定值時，記作. 設(shè)，我們把集合{x│}稱為點的鄰域，點稱為鄰域的中心，稱為鄰域的半徑. 稱集合{x│0}為的去心鄰域.如圖110（）、（）所示. 顯然，的鄰域即為開區(qū)間)，記為N()。的去心鄰域即為)),記為N().圖110 設(shè)函數(shù)在的某去心鄰域N（）內(nèi)有定義，如果當無限趨近于時，無限接近于一個確定的常數(shù)A，則稱常數(shù)A為當時函數(shù)的極限，記作或當，A圖111圖112如函數(shù)，從圖111可看出，當從1的左、右兩旁無限趨近于1時，曲線上的點M與M＇都無限接近于點N(1,2)，即函數(shù)的值無限接近于常數(shù)2，所以. 需要指出的是：(1)由于現(xiàn)在考察的是當時函數(shù)的變化趨勢，所以定義中并不要求在點處有定義；(2) 表示自變量從的左、右兩旁同時無限趨近于.例3 考察當時，函數(shù)的變化趨勢，并求時的極限.解 從函數(shù)的圖形（圖112）可知，當從左、右兩旁同時無限趨近于1時，函數(shù)的值無限趨近于常數(shù)，所以 設(shè)函數(shù)在（）（或（））內(nèi)有定義，若當自變量從的左（右）近旁無限接近于，記作（）時，函數(shù)無限接近于一個確定的常數(shù)A，則稱常數(shù)A為時的左（右）極限，記作或，（或）.極限與左、右極限之間有以下結(jié)論： 的充要條件是.例4 討論下列函數(shù)當時的極限.（1）； （2）.解 （1）因為，，不存在. 稱為符號函數(shù)，見圖113.圖113（2）因為，，如圖113（）. 習題1—2習題12觀察下列數(shù)列的變化趨勢，并判斷極限是否存在，若存在，指出其極限值。 （1） （2）（3） （4）考察下列函數(shù)當時以的變化趨勢，并求出其當時的極限。 （1） （2） 討論下列函數(shù)當時的極限（1） （2）167。13 極限的運算一、極限的四則運算 設(shè)，,則（1）；（2），（C為常數(shù)）；（3）；（4）(B)說明：（1）上述運算法則對于時的情形也是成立的。而且法則(1)與(3)可以推廣到有限個具有極限的函數(shù)的情形.（2）由于數(shù)列可以看作定義在正整數(shù)集上并依次取值的函數(shù)，所以數(shù)列極限可以看作是一種特殊的函數(shù)極限. 因此，對于數(shù)列極限也是有類似的四則運算法則.例1 求. 解 == =1+213=0例2 求解 ====4例3 求.解 因為當時，分母的極限為零，所以不能直接應(yīng)用法則（4）.但因，在的過程中，所以例4 求.解 因為當時，與的極限都不存在，所以不能直接應(yīng)用法則（1）計算，應(yīng)先通分，進行適當?shù)淖冃?，然后用相?yīng)的法則來計算.=== ==1例5 求下列函數(shù)極限. （1）； （2）.解 （1）因為時，分子分母的極限都不存在，所以不能直接應(yīng)用法則（4）.可先用同除分子、分母，然后再求極限====（2）不能直接應(yīng)用法則（4）.先用同除分子、分母，====0例6 設(shè)無窮等比數(shù)列的首項為，公比q滿足，求數(shù)列的所有項之和S.解 設(shè)數(shù)列的前項的和為，由等比數(shù)列的前項和公式可得： 所以 == = = 因為，所以 故==由此例可知，若一無窮等比數(shù)列的公比絕對值小于1（稱為無窮遞縮等比數(shù)列），則其所有項和為. 其中為首項,為公比，此式稱為無窮遞縮等比數(shù)列的求和公式.二、無窮小與無窮大無窮小 在自變量的某一變化過程中，若函數(shù)的極限為零，則稱此函數(shù)為在自變量的這一變化中的無窮小量，簡稱為無窮小.如函數(shù)，因為，所以函數(shù)是當時的無窮小.又如函數(shù)，因為，所以函數(shù)是當時的無窮小.值得注意的是：（1）說一個函數(shù)是無窮小，必須指明自變量的變化趨勢. 如是當?shù)臒o窮小，而當趨向其它數(shù)值時，就不是無窮小；（2）常數(shù)中只有“0”可以看成無窮小，其他無論絕對值多么小的常數(shù)都不是無窮小.無窮小具有如下性質(zhì)：（1）有界函數(shù)與無窮小的乘積為無窮??；（2）有限個無窮小的代數(shù)和為無窮??；（3）有限個無窮小的乘積為無窮小.例7 求.解 因，即是當時的無窮小，是有界函數(shù). 所以根據(jù)無窮小的性質(zhì)知，仍為當時的無窮小，即無窮小與極限的關(guān)系 在自變量的某一變化過程中，函數(shù)的極限為A的充要條件是可以表示成A與一個同一變化過程中的無窮小量之和. 即 無窮大 在自變量
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