【文章內(nèi)容簡介】 體體積V由底半徑r和高h所決定,即V=prh。這些都是多元函數(shù)的例子。2一般地，有下面定義：定義1 設E是R的一個子集，R是實數(shù)集，f是一個規(guī)律，如果對E中的每一點(x,y)，通過規(guī)律f，在R中有唯一的一個u與此對應，則稱f是定義在E上的一個二元函數(shù)，它在點(x,y)的函數(shù)值是u，并記此值為f(x,y)，即u=f(x,y)。有時，二元函數(shù)可以用空間的一塊曲面表示出來，這為研究問題提供了直觀想象。例如，二元函數(shù)x=R22x2y2就是一個上半球面，球心在原點，半徑為R，此函數(shù)定義域為滿足關系式x+y163。R222222的x，y全體，即D={(x,y)|x+y163。R}。又如，Z=xy是馬鞍面。二 多元函數(shù)的極限2定義2設E是R的一個開集，A是一個常數(shù)，二元函數(shù)f(M)=f(x,y)在點M0(x0,y0)206。E附近有定義．如果e0，$d0，當0r(M,M0)d時，有f(M)Ae，就稱A是二元函數(shù)在M0點的極限。記為limf(M)=A或f(M)174。A(M174。M0)。M174。M02定義的等價敘述1 設E是R的一個開集，A是一個常數(shù)，二元函數(shù)f(M)=f(x,y)在點M0(x0,y0)206。E附近有定義．如果e0，$d0，當0(xx0)+(yy0)d時，有f(x,y)Ae，就稱A是132《數(shù)學分析（1，2，3）》教案二元函數(shù)在M0點的極限。記為limf(M)=A或f(M)174。A(M174。M0)。M174。M02定義的等價敘述2 設E是R的一個開集，A是一個常數(shù)，二元函數(shù)f(M)=f(x,y)在點M0(x0,y0)206。E附近有定義．如果e0，$d0，當0xx0d,0yy0d且(x,y)185。(x0,y0)時，有f0f(x,y)Ae，就稱A是二元函數(shù)在M0點的極限。記為limM174。M(M)=A或f(M)174。A(M174。M0 )。注：（1）和一元函數(shù)的情形一樣，如果limf(M)=A，則當M以任何點列及任何方式趨于M0時，f(M)M174。M0的極限是A；反之，M以任何方式及任何點列趨于M0時，f(M)的極限是A。但若M在某一點列或沿某一曲線174。M0時，f(M)的極限為A，還不能肯定f(M)在M0的極限是A。所以說，這里的“”或“”要比一元函數(shù)的情形復雜得多，下面舉例說明。例：設二元函數(shù)f(x,y)=xyx2+y22，討論在點(0,0)的的二重極限。例：設二元函數(shù)f(x,y)=2xyx2+y或2，討論在點(0,0)的二重極限是否存在。236。239。0,例：f(x,y)=237。239。238。1,x163。y其它y=0，討論該函數(shù)的二重極限是否存在。二元函數(shù)的極限較之一元函數(shù)的極限而言，要復雜得多，特別是自變量的變化趨勢，較之一元函數(shù)要復雜。例：limx174。165。y174。165。x+yx2xy+ysinxyx2。例：① limx174。0y174。0② lim(x+y)ln(x+y)③ lim(x+y)ex174。0y174。0x174。165。y174。165。2222222(x+y)例：求f(x,y)=xy3223x+y在（０，０）點的極限，若用極坐標替換則為limrr174。0coscos32qsin2q3q+sinq=0?（注意：cos3q+sinq在q=37p4時為０，此時無界）。xyx22例：（極坐標法再舉例）：設二元函數(shù)f(x,y)=+y2，討論在點(0,0)的二重極限．證明二元極限不存在的方法．基本思想：根據(jù)重極限定義，若重極限存在，則它沿任何路徑的極限都應存在且相等，故若１）某個特殊路徑的極限不存在；或２）某兩個特殊路徑的極限不等；３）或用極坐標法，說明極限與輻角有關． 例：f(x,y)=xyx2+y2在(0,0)的二重極限不存在．133《數(shù)學分析（1，2，3）》教案三二元函數(shù)的連續(xù)性定義3設f(M)在M0點有定義，如果limf(M)=f(M0)，則稱f(M)在M0點連續(xù)．M174。M0“ed語言”描述：e0,$d0,當0四 有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)有界性定理若f(x,y)再有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則它在D上有界。一致連續(xù)性定理若f(x,y)再有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則它在D上一致連續(xù)。最大值最小值定理若f(x,y)再有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則它在D上必有最大值和最小值。nP0和P1是D內(nèi)任意兩點，f是D內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，零點存在定理設D是R中的一個區(qū)域，如果f(P0)0，f(P1)0，則在D內(nèi)任何一條連結(jié)P0,P1的折線上，至少存在一點Ps，使f(Ps)=0。五二重極限和二次極限在極限limf(x,y)中，兩個自變量同時以任何方式趨于x0,y0，這種極限也叫做重極限（二重極限）．此x174。x0y174。y0外，我們還要討論當x,y先后相繼地趨于x0與y0時f(x,y)的極限．這種極限稱為累次極限（二次極限），其定義如下：若對任一固定的y，當x174。x0時，f(x,y)的極限存在：limf(x,y)=j(y),而j(y)在y174。y0時的x174。x0極限也存在并等于A，亦即limj(y)=A，那么稱A為f(x,y)先對x，再對y的二次極限，記為y174。y0limlimf(x,y)=A．y174。y0x174。x0同樣可定義先y后x的二次極限：limlimf(x,y)．x174。x0y174。y0上述兩類極限統(tǒng)稱為累次極限。注意：二次極限（累次極限）與二重極限（重極限）沒有什么必然的聯(lián)系。例：（二重極限存在，但兩個二次極限不存在）．設11236。xsin+ysin239。yxf(x,y)=237。239。0238。x185。0,y185。0x=0ory=0由f(x,y)163。x+y 得limf(x,y)=0（兩邊夾）。由limsinx174。0y174。0y174。01y不存在知f(x,y)的累次極限不存在。例：（兩個二次極限存在且相等，但二重極限不存在）。設134《數(shù)學分析（1，2，3）》教案f(x,y)=xyx2+y2，(x,y)185。(0,0)由limlimf(x,y)=limlimf(x,y)=0知兩個二次極限存在且相等。但由前面知limf(x,y)不存在。x174。0y174。0y174。0x174。0x174。0y174。0例：（兩個二次極限存在，但不相等）。設f(x,y)xx22y+y22，(x,y)185。(0,0)則 limlimf(x,y)=1，limlimf(x,y)=1。limlimf(x,y)185。limlimf(x,y)（不可交換）x174。0y174。0y174。0x174。0x174。0y174。0y174。0x174。0上面諸例說明：二次極限存在與否和二重極限存在與否，二者之間沒有一定的關系。但在某些條件下，它們之