文科高數(shù)-函數(shù)的連續(xù)性(編輯修改稿)
2024-09-01 20:12 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 )1l n(lim40??求例xxx)1l n(lim0??.)( 0 也不一定有定義在 xxxu ?? j指出 : ，不一定等于 ax )( 0j解 。s i 0 x xx ?xxxs inlnlim0? )s i nl i ml n(0 xxx ??1ln? 0?)。a r c c o s ( 2 xxxx ?????解 )a r c c o s (lim 2 xxxx ????? )(lima r c c o s2 xxxx ??? ???xxxxx ?????? 2lima r c c o s1111l i ma r c c o s??????xx21a r c c o s?3??練習(xí) 定理 由于 基本初等函數(shù) 在其 定義域內(nèi) 是連 續(xù)的 ， 初等函數(shù)在 其 定義 區(qū)間 內(nèi) 是連續(xù)的。 若 ) ( x f 為初等函數(shù) , 且 0 x 在其定義區(qū)間內(nèi) , 則 這表明 : 對(duì)連續(xù)函數(shù)在連續(xù)點(diǎn)求極限 , 只需求該點(diǎn)函數(shù)值 . 由以上法則，可得： 例 5 求 2 2 1 1 lim x x ? ? 2 3 ? 1 lim 2 2 1 ? ? x x 解 因此，初等函數(shù)的定義區(qū)間就是它的連續(xù)區(qū)間。 )(lim0xfxx? )( 0xf?2211 ????????練習(xí) 求下列函數(shù)的連續(xù)區(qū)間，并求極限： )。(lim,a r c c o s1)(.1 02 xfxxxf x ????)。(l i m,64)(.2 5 xfxxxf x ?????解 1 ，的定義區(qū)間為 ]1,1[)( ?xf.]1,1[)( ?的連續(xù)區(qū)間為所以 xf)(lim0 xfx? 0ar c c os01 2 ???解 2 ，的定義區(qū)間為 ]6,4[)( xf.]6,4[)( 的連續(xù)區(qū)間為所以 xf)(lim5 xfx? 0?)0(f? 21 ???)5(f?如果 函數(shù) ) ( x f 在點(diǎn) 0 x 處 不連續(xù) , 就 稱 ) ( x f 在點(diǎn) 0 x 處 間斷 , 0 x x ? 點(diǎn)稱為函數(shù) ) ( x f 的 間斷點(diǎn) 或 不連續(xù) 點(diǎn) 。 由函數(shù)連續(xù)性定義可知 , 連續(xù)必須在點(diǎn) 0)( xxf：同時(shí)滿足以下三個(gè)條件。)()1( 0 有定義在點(diǎn)函數(shù) xxf存在；)(l i m)2(0xfxx ?；)()(l i m)3( 00xfxfxx ??何一個(gè)，不滿足三個(gè)條件中的任如果函數(shù) )( xf.)(0 的一個(gè)間斷點(diǎn)就是函數(shù)那么點(diǎn) xfxx ?二、函數(shù)的間斷點(diǎn) 間斷點(diǎn)分類 ： 間斷點(diǎn)可分為以下幾種類型 , 按左、右極限是否 都存在來分類。 （一）第一類間斷點(diǎn) (左、右極限均存在 ) 但不相等 。 0 0 ? ? ? ? 均存在 與 , ) ( lim ) ( lim x f x f x x x x ? 存在 , ) ( lim 0 x f x x （二）第二類間斷點(diǎn) ( 左、右極限至少有一個(gè)不存在 ) )。()(lim 00xfxfxx ??但。)()(lim 00處無定義在存在，但或 xxfxfxx ?,1)1( ?f?2)(l i m 1 ?? ? xfx ),1(f?.1 為函數(shù)的可去間斷點(diǎn)故 ?x ,2)1( ?f令o xy112???????????,1,1,10,2)(*xxxxxf則.1 處連續(xù)在 ?x)(lim1 xfx ?? xx 2lim1 ??? 2?)(lim1 xfx ?? )1(l i m1 xx ?? ?? 2????????????,1,11,10,1,2)(xxxxxxf函數(shù)例 1例 2 1 1 ) ( 2 ? ? ? x x x f 函數(shù) 2 ? 所以 1 ? x 為函數(shù) ) ( x f 的可去間斷點(diǎn)。 令 2 ) 1 ( ? f 則函數(shù) ) ( x f 在 1 ?
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