【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 型例題分析【例1】（2010年真題）（工程類(lèi)）計(jì)算極限limxsinx= x174。0x+sinx=1這一重要極限。如此，我們不難解x174。0xsinxsinx11limxsinxx174。0==0。=limx174。0x+sinxx174。01+1+limx174。0xxxcx)=e6,則常數(shù)c=_________?！纠?】（2010年真題）（工程類(lèi)）設(shè)lim(x174。165。x+c1x1【解析】解決此類(lèi)題目，我們要靈活運(yùn)用lim(1)=。x174。165。xe【解析】：解決此類(lèi)題目，我們要深刻掌握l(shuí)im2cxxcx2cx2+ccx+clim()=lim(1)=limex174。165。x+cx174。165。x174。165。x+c2c1+c=e2c=e6。則c=3。1236。182。239。xsin,x185。0【例3】（2009年真題）（工程類(lèi)）設(shè)f(x)=237。若f(x)在點(diǎn)x=0處連續(xù)，則αx239。238。0,x=0的取值范圍是A．(∞,+ ∞)B.[0,+ ∞]C.(0,+ ∞)D.(1,+ ∞)【解析】函數(shù)f(x)為一個(gè)分段函數(shù)，要使其在點(diǎn)x=0處連續(xù)，只需limxsinx174。0182。1=0，不難x發(fā)現(xiàn)x→0時(shí)，sin x 為有界的，我們只需滿(mǎn)足limx=0即可。易得，α0。但α不能等于x174。0182。0，否則limsinx174。01185。0。x提高訓(xùn)練求下列函數(shù)的定義域（1）y=（2）y=1 2x2x（3）y=lg(3x+1)(4)y=1+ 1x2判斷一下函數(shù)的奇偶性ax+ax(1)y = tan x(2)y=a(3)y= 2x求下列函數(shù)的極限1x3+4x2(1)lim(3x1)(2)lim3(3)limxsinx174。3x174。0x174。0x+xxsin3x15sin2x(4)lim(5)lim(6)lim(1+)x174。0x174。165。x174。01cosxxx236。1239。ex,x0239。239。討論f(x)=237。0,x=0在x=0點(diǎn)的連續(xù)性。x0證明方程x3x=1至少有一個(gè)根介于1和2之間?！敬鸢浮浚?）[1,1](2)(∞,0)∪(0,2)∪(2,+∞)(3)(1/3,+∞)(4)[2,1)∪(1,1)∪(1,+∞)（1）奇（2）非奇非偶（3）偶（1）8（2）4（3）0（4）2（5）3（6）1連續(xù)證明：記f(x)=x3x1，f(1)=30。由零點(diǎn)存在定理知，至少存在一個(gè)零點(diǎn)介于1和2之間。即方程x3x=1在1和2之間至少有一個(gè)根。555第三篇：、極限與連續(xù)性167。、極限與連續(xù)性一．多元函數(shù)的基本概念 在自然科學(xué)和工程技術(shù)中常常遇到一個(gè)變量依賴(lài)于多個(gè)自變量的函數(shù)關(guān)系，比如：例1矩形面積S與邊長(zhǎng)x，寬y有下列依從關(guān)系：S=xy(x0,y0)．其中，長(zhǎng)x與寬y是獨(dú)立取值的兩個(gè)變量．在它們變化范圍內(nèi)，當(dāng)x，y取定值后，矩形面積S有一個(gè)確定值與之對(duì)應(yīng)．例2在第7章中我們學(xué)習(xí)了曲面的方程，例如橢圓拋物面的方程為：x2y2x2y2z=2+2，雙曲拋物面的方程為z=22，這里的z坐標(biāo)既跟x有關(guān)，又跟ababy有關(guān)，它是x，定義1設(shè)D是R2的一個(gè)非空子集，映射f ：D174。R稱(chēng)為定義在D上的二元函數(shù)，記為z=f(x，y),(x，y)206。D(或z=f(P),P206。D)其中，點(diǎn)集D稱(chēng)為該函數(shù)的定義域，x，y稱(chēng)為自變量，與自變量x、y的一對(duì)值(x，y)相對(duì)應(yīng)的因變量z的值，也稱(chēng)為f 在點(diǎn)(x, y)處的函數(shù)值，記作f(x，y)，即z=f(x,y).函數(shù)f(x，y)值域：f(D)={z|z=f(x，y)，(x，y)206。D}.函數(shù)的其它符號(hào):z=z(x，y)，z=g(x，y)=f(x, y, z)，(x, y, z)，把定義1中的平面點(diǎn)集D換成n維空間Rn內(nèi)的點(diǎn)集D, 映射f ：D174。R稱(chēng)為定義在D上的n元函數(shù)，通常記為u=f(x1，x2，...，xn)，(x1，x2，...，xn)206。D，或簡(jiǎn)記為u=f(x)，x=(x1，x2，...，xn)206。D，也可記為u=f(P)，P(x1，x2，...，xn)：在一般地討論用算式表達(dá)的多元函數(shù)u=f(x)時(shí)，對(duì)這類(lèi)函數(shù),：函數(shù)z=ln(x+y)的定義域?yàn)閧(x，y)|x+y0}(無(wú)界開(kāi)區(qū)域)。 函數(shù)z=arcsin(x2+y2)的定義域?yàn)閧(x，y)|x2+y2163。1}(有界閉區(qū)域).二元函數(shù)的圖形:點(diǎn)集{(x，y，z)|z=f(x，y)，(x，y)206。D}稱(chēng)為二元函數(shù)z=f(x，y)的圖形，由第6章的學(xué)習(xí)知，=ax+by+c是一張平面，而函數(shù)z=x2+=9x2y2的定義域． 解 容易看出，當(dāng)且僅當(dāng)自變量x，y滿(mǎn)足不等式x2+y2163。9, 函數(shù)z才有定義．其幾何表示是xOy平面上以原點(diǎn)為圓心，半徑為3的圓內(nèi)及圓周邊界上點(diǎn)的全體，．即函數(shù)z的定義域?yàn)閤2+y2163。9． 例2求函數(shù)z=ln(x+y)的定義域．解 函數(shù)的定義域?yàn)閤+y0，其幾何圖形是xOy平面上位于直線(xiàn)y=x上方的半平面，而不包括直線(xiàn)的陰影部分，．x2+y2+arcsec(x2+y2)的定義域． 例3求函數(shù)z=arcsin2解 函數(shù)z是兩個(gè)函數(shù)的和，其定義域應(yīng)是這兩個(gè)函數(shù)的定義域的公共部分．函數(shù)的定義域由不等式組22236。239。x+y163。2 237。22239。238。x+y179。1構(gòu)成，即1163。x2+y2163。2．定義域的圖形是圓環(huán)（包括邊界），． 例5求函數(shù)z=11xy22的定義域．解 函數(shù)的定義域?yàn)?(x2+y2)0，即x2+y2，． 與一元函數(shù)的極限概念類(lèi)似，如果在P(x，y)174。P0(x0，y0)的過(guò)程中，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x，y)無(wú)限接近于一個(gè)確定的常數(shù)A，則稱(chēng)A是函數(shù)f(x，y)當(dāng)(x，y)174。(x0，y0)時(shí)的極限.定義2設(shè)二元函數(shù)f(P)=f(x,y)的定義域?yàn)镈，P0(x0，y0)(,)D206。U199。P(,)0d時(shí)，在常數(shù)A，使得對(duì)于任意給定的正數(shù)e，總存在正數(shù)d，當(dāng)Pxyo總有|f(P)A|=|f(x,y)A|e成立，則稱(chēng)常數(shù)A為函數(shù)f(x，y)當(dāng)(x，y)174。(x0，y0)時(shí)的極限，記為(x,y)174。(x0,y0)limf(x,y)=A，或f(x，y)174。A((x，y)174。(x0，y0)也可簡(jiǎn)記為P174。P0limf(P)=A或f(P)174。A(P174。P0)，d和相關(guān)距離對(duì)極限過(guò)程做出了精確描述，這種描述通常稱(chēng)為e—d語(yǔ)言，：在定義2中將P(x，y)改為P(x1，x2，…，xn) 設(shè)f(x,y)=(x2+y2)sin證 因?yàn)閨f(x,y)0|=|(x2+y2)sin10| =|x2+y2||sin1| 163。x2+y2，x2+y2x2+y21，求證limf(x,y)=0.(x