函數(shù)的聯(lián)系性連續(xù)函數(shù)的概念(編輯修改稿)
2024-09-15 20:30 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ,g u u由 于 在 點 連 續(xù)01( ) , 0 ,f x x ? ?又因為 在點 連續(xù) 故對上述00 , | | ,xx??? ? ?存 在 當(dāng) 時 有0 0 1| ( ) ( ) | | | ,f x f x u u ?? ? ? ?00| ( ( ) ) ( ( ) ) | | ( ) ( ) | ,g f x g f x g u g u e? ? ? ?于是 返回 后頁 前頁 0( ( ) ) .g f x x這 就 證 明 了 在 點 連 續(xù) 對這個定理我們再作一些討論 ,以加深大家對該定 00 0( 1 ) li m ( ) , li m ( ) ,u u x xg u A f x u?? ??由 不 一 定 有請大家仔細觀察定理 的證明 , 看看此時究竟哪 0l i m ( ( ) ) .xx g f x A? ?理的認識 . 里通不過 . 返回 后頁 前頁 ) ) .(lim()())((lim00 0xfgugxfg xxxx ?? ??)*(應(yīng)用定理 ,就得到所 0( ) .f x x使 得 在 點 連 續(xù)(*)式相應(yīng)的結(jié)論仍舊是成立的 . ,)(lim,)()2( 000uxfuug xx ??連續(xù)在若 則有 0 0l i m ( )xx f x u? ?若將 改為 需要的結(jié)論 . ,)(lim 0uxfx ???? 0)(lim uxfx ???? ,)(lim 0uxfx ???或事實上 ,只要補充定義 （ 或者重新定義） 00()f x u?返回 后頁 前頁 上述 (1)和 (2)究竟有什么本質(zhì)的區(qū)別呢 ? 請讀者作 .0))1(lims i n ()1s i n (lim 2121 ???? ?? xx xx).1s i n (lim 21 xx ??求例 1 22s in ( 1 ) ( ) s in , ( 1 )x g u u u x? ? ? ?可 視 為 的 復(fù)解 合，所以 出進一步的討論 . 返回 后頁 前頁 例 2 .s i n2l i m 0 x xx ??求解 ( ) 1 ,g u u u??因 為 在 連 續(xù) 所 以.112)s i n2(lims i n2lim10???????? xxxxxx例 3 .)11s i n(lim xx x???求解 1lim ( 1 ) e , sin e ,xxuux??? ? ?因 為 在 點 連 續(xù)所以 .es i n)11s i n(lim ????xx x返回 后頁 前頁 均有 使得對一切 存在 , 0 D x D x ? ? ),)()(()()( 00 xfxfxfxf ??[ , ] , .ab 上的整體性質(zhì) 證明將在第七章里給出.],[ 上連續(xù)在閉區(qū)間設(shè) baf 在本節(jié)中將研究 f 在 二、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 定義 1 ( ) .f x D設(shè) 為 定 義 在 數(shù) 集 上 的 一 個 函 數(shù)若 ( ) ( ) ,f x D則 稱 在 上 有 最 大 小 值0 ()x 稱 為 最 大 小 值0( ) ( ) ( ) .f x f x D稱 為 在 上 的 最 大 小 值點 , 返回 后頁 前頁 的最大值不存在 ,最小值為零 .注意 : ][ xxy ??既無最大值 ,又無最小值 . 22yx?? π πsin ( , )在 上定理 （最大、最小值定理） ()fx若 函 數(shù) 在 閉 區(qū)[ , ]ab間 上連續(xù)， ( ) [ , ] .f x a b則 在 上有最大、最小值xy sgn?例如 ,符號函數(shù) 的最大值為 1,最小值為 1。 xy s i n?正弦函數(shù) 的最大值為 1,最小值為 1。函數(shù) (其上確界為 1, 下確界為 1 ) 這個定理刻畫了閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的一個深刻的 返回 后頁 前頁 推論 )(,],[)( xfbaxf 則上連續(xù)在閉區(qū)間若函數(shù).],[ 上有界在 ba( 0 , 1 ) .在 上 無 界()fx函數(shù) 有最大、最小這是因為由定理 可知 , 值 , 從而有上界與下界 ,于是 f (x) 在 [a, b] 上 是有 1( ) , ( 0 , 1 )f x xx??函 數(shù) 雖然也是連續(xù)函數(shù) ,但是 內(nèi)涵 ,在今后的學(xué)習(xí)中有很廣泛的應(yīng)用 . 界的 . 返回 后頁 前頁 這說明定義在開區(qū)間和閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的性 定理 （介值性定理） ],[)( baxf 在閉區(qū)間設(shè)函數(shù)( ( ) ( ) ( ) ( ) ) ,f a f b f b f a??? ? ? ?間 的 任 一 數(shù) 或.)( 0 ??xf.)()( bfaf ?且 ( ) ( )f a f b?若 是 介 于 與 之上連續(xù) , 使得,),(0 bax ?則 (至少 )存在一點 質(zhì)有著根本的區(qū)別 . 返回 后頁 前頁 從幾何上看 ,當(dāng)連續(xù)曲線 從水平直線 ()y f x? y ??的一側(cè)穿到另一側(cè)時 , 兩者至少有一個交點 . ()y f x??yxo)(af)(bf?a b0x返回 后頁 前頁 推論 （ 根的存在性定理） ,],[)( 上連續(xù)在若 baxf0)( 0 ?xf應(yīng)當(dāng)注意 , 此推論與定理 . 于是 , 只要 則至少存在一點 ,0)()( ?? bfaf ,0x 使 下面用確界定理來證明上述推論 , 大家要注意學(xué)習(xí) 證明了推論 , 也就完成了定理 證明 . 確界定理的使用方法 . 返回 后頁 前頁 (E為圖中 x 軸上的紅 }.0)(,],[|{ ??? xfbaxxE 證 不妨設(shè) ( ) 0 , ( ) 0 ,f a f b??并設(shè) xyO a b零點 . 證明如下： 的最大值就是函數(shù)的 線部分 )從幾何上看 , E 返回 后頁 前頁 因為 ,aE? 所以 ,E ?? 又 E 是有界的 , 故由確 我們來否定下面兩種情形 : 1. 00( ) 0 .f x a x b? ? ?若 ， 則 有由 f (x)在點 是 0x連續(xù)的 , 根據(jù)保號性 , 存在 00 ( ) ,xb??? ? ? 使當(dāng).0)( ?xf.0 bxa ??界定理 , Ex s up0 ? 存在，顯然 ),[ 00 ??? xxx 時，仍有00( ) 0 , ,22f x x E??? ? ? ?特 別 是 使 得 這 就 與返回 后頁 前頁 0 s u p .xE? 相 矛 盾2. 00( ) 0 .f x a x b? ? ?若 ， 則
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