【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 用三角多項(xiàng)式一致地逼近．引理 若 ，則對(duì)于任何 ，等式 都成立．????2Cx?a????dxxa???????202引理 對(duì)任何 有下面的恒等式 ．Nn 2!1cos20?ntdn?西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）10引理 對(duì)于一切實(shí)數(shù)，一致地有 ．??xfVn???lim其中 ， ．???2Cxf???dttfnxVnn 2cos21!??????要想由此推得 Weierstrass 第二定理，只須證明 是一個(gè)三角多項(xiàng)式即??xVn可．為此，我們需要下列引理．定義 若 ，則稱三角多項(xiàng)式0??nba的階為 ． （27）???????kkn xbAxT1sinco引理 兩個(gè)三角多項(xiàng)式的乘積仍為一個(gè)三角多項(xiàng)式，且其階等于兩因子階之和．引理 若三角多項(xiàng)式 為一偶函數(shù)，即 ，則??xT??xT??它可以表示成 的形式，即式中不含倍角的正弦．?????nkaAxT1cos2．3．2 WeierstrassStone 定理 設(shè) 是某個(gè)度量空間中的任意子集，它至少包含兩個(gè)不同的元素，并且在 上E E成立有限覆蓋定理．設(shè)定義在 上的實(shí)函數(shù)系 組成一個(gè)線性空間，且構(gòu)成一E????xp個(gè)環(huán) ，這個(gè)環(huán)包含常數(shù)，且對(duì)于 中任意兩個(gè)不同的元素 ， ，在環(huán) 中存在函Y 12xY數(shù) ，使 ，于是對(duì)于 上定義的任意一個(gè)實(shí)連續(xù)函數(shù) ，對(duì)于任??xp??21xp? ??f給 ，在 上存在元素 ，使得有0??．??Expxf???,?利用 Stone 定理可以得到很多有用的逼近定理，例如下面的有理函數(shù)逼近定理西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）11設(shè) ，則任給 ，存在有理函數(shù) ， 使??????,Cxf 0??????xR， ．??xRf ??x其中 表示分子的次數(shù)不大于分母次數(shù)的全體實(shí)系數(shù)有理函數(shù) 空間．? ??x2．3．3 Weierstrass 逼近定理的逆定理Weierstrass 逼近定理從正面闡述了連續(xù)函數(shù)可以用多項(xiàng)式來(lái)逼近的重要性質(zhì)，反之，如果一個(gè)定義在閉區(qū)間上的函數(shù)能用多項(xiàng)式逼近，則該函數(shù)必然是連續(xù)函數(shù)．定理 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，對(duì)定義在閉區(qū)間 上的函數(shù) ，如果滿足對(duì) ，??ba,??xf 0???都存在這樣的多項(xiàng)式 ，使不等式??xp ????????xfbax,m成立，那么函數(shù) 必然是連續(xù)函數(shù)．??f由此，我們得到如下結(jié)論，這可以作為 Weierstrass 逼近定理的補(bǔ)充或充要條件．結(jié)論 1 的充分必要條件是: ????baCxf,?對(duì) ，都存在一個(gè)多項(xiàng)式 使不等式 成立．0?????xp????????xfpbax,m結(jié)論 2 函數(shù) 是連續(xù)函數(shù)或是與一個(gè)連續(xù)函數(shù)幾乎處處相等的函數(shù)的充分必??xf要條件是:對(duì) ，都存在一個(gè)多項(xiàng)式 使不等式0????xp????????fxpAbax\,m成立．這里 為零測(cè)度集．例 1: 設(shè)函數(shù) 定義在閉區(qū)間 上，且在該區(qū)間上與一個(gè)連續(xù)函數(shù) 幾??xf??ba, ??xf乎處處相等，則西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）12，??0??dxfban?2,1n成立的充分必要條件是 在 上幾乎處處成立．f??,證明： 充分性顯然，只需證明必要性．由條件有 ， ，其中 是 上的零測(cè)度集． 所以??xgf?????Aba\,???ba,0= ?????dxfdxfdf Anbanban ????\, = =?????gxAnAban\, gban因此可得 ，??0?xg,?注意當(dāng) 時(shí)， ，所以 ， ．證畢．??ba\,??xgf???0?xf??Aba\,?注 設(shè)函數(shù) ．則??baCxf,，??0??dfan?2,1n成立的充分必要條件是: ， ．xf??ba,?西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）13第 3 章 Bernstein 多項(xiàng)式和 Kantorovich 算子3．1 Bernstein 多項(xiàng)式3．1．1 Bernstein 多項(xiàng)式的定義Bernstein 多項(xiàng)式在函數(shù)逼近論中是一個(gè)古典的工具，也是迄今為止最受人們注意的正線性算子．它在逼近論中的地位，顯然是由 Bernstein 收斂定理確立的．但是遺憾的是，它的收斂速度十分緩慢．Bernstein 逼近，就是利用著名的 Bernstein 算子: ????????,00。 1nnnkknnkkkBfxfPxfx??????????對(duì)函數(shù) 進(jìn)行逼近，這是一類(lèi)經(jīng)典而豐富的研究課題，它可以追溯??,1fC?到 1912 年，從那時(shí)起已有近千篇關(guān)于這一課題的論文出版．從提供計(jì)算工具的觀點(diǎn)來(lái)看，由顯式表示出來(lái)的算子(即在計(jì)算上具有能行性的算子)一般最受歡迎．Bernstein 算子作為具有顯式表示的正線性算子，以其結(jié)構(gòu)形式的簡(jiǎn)單優(yōu)美及許多良好的性質(zhì)吸引了許多人去研究推廣它．羅馬尼亞數(shù)學(xué)家 D．D ．Stancu 是研究 Bernstein 算子的大專家，它引進(jìn)的一類(lèi)廣義 Bernstein 算子具有豐富的概括性，由于它所構(gòu)造的都是顯式表示的線性算子，所以在實(shí)際計(jì)算上都是可用的，而且也有逼近偏差的估計(jì)．此外，由 Bernstein 算子變形產(chǎn)生了許多算子，諸如:西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）14Szasz 一 Mirakjan 算子: ????0。 !knxnknxSfef????BaskakoV 算子 : ??01。 nkknkVfxfx???????????Kantorovich 算子 : 等等．?????101。1knnknkkKfxxftd????????????設(shè) ．對(duì)于任意的 ，定義多項(xiàng)式??:0,1fR?n?? （31）????0。inniBfxfBx????????稱它為 f 的 n 次 Bernstein 多項(xiàng)式，這中多項(xiàng)式是 1912 年由 Bernstein 給出的，他并且證明了：當(dāng) f 在 上連續(xù)時(shí)??0,1 （32）??lim。nBfxf???對(duì) 一致地成立．??0,1x?Bernstein 多項(xiàng)式一直是函數(shù)逼近論中的重要工具和研究對(duì)象．我們討論連續(xù)函數(shù) f．由 Bernstein 逼近定理．當(dāng) n 充分大時(shí)， 是 f 的一個(gè)很好的逼近，f 稱??。nBfx為被逼近函數(shù)．3．1．2 Bernstein 算子的一些性質(zhì) 由 Bernstein 形式的已知性質(zhì)得 （33）??。0,1nBf?}西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）15這就是說(shuō)，在區(qū)間 的兩端， 插值于被逼近函數(shù) f．由端點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，??0,1??。nBfx可以得到 （34） ????1。00,。 ,ndfffxnBff????????} 我們從變換的觀點(diǎn)來(lái)看 Bernstein 多項(xiàng)式，把 看成一個(gè)算子， 的作用是把nBnB函數(shù) f 映射成多項(xiàng)式 ．則 是一個(gè)線性算子，也就是說(shuō)，對(duì)定義在??。nnBfx??n上的函數(shù) f 與 g 以及任何實(shí)數(shù) 與 ，我們有??0,1?? ．??????。nnnfxfxBgx?????如果 對(duì) 成立，那么 對(duì) 成立，這表明 是正線性?0fx???,1?。0nf???,1?nB算子．定理 3．1 如果 f 是 上的上升（下降）函數(shù)，那么 也是 上的??0, ??。nfx??0,1上升（下降）函數(shù)．證明： 設(shè) f 在 上是上升的，特別地??, ． 由??????0121ffnff??? ， 10。 0n in nidBfxffBx?????????????????????可得結(jié)論，證畢． 定理 3．2 設(shè) f 是 上的凸函數(shù)，于是??,11. 對(duì)于 ， 在 上是凸的；n????。nBfx0,2. 對(duì) 及 成立；??1。nnfxf????,1?n?西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）163. 如果 f 在 上連續(xù)，那么由 ， 可以導(dǎo)出 f 是子??0,1????1。nnBfxfx????0,1?區(qū)間 ， ，上的線性函數(shù)；,in???????,i??4. 如果 f 在 上連續(xù)，則 對(duì) 及 成立．??0,1??。nBfx???0,1xn?證明: 1．由 f 的凸性可知 210iiifffnn??????????????????對(duì) 成立，由此導(dǎo)出 對(duì) 成立，故 是0,12i?????2。ndBfx??,1???。nBfx凸函數(shù)； 2．由升階公式得 ????0。ninniBfxfBx???????? ??1 101n iniiiffBxn? ??????????????? ?????? ?因此 ????1。nnBfxfx?? ??1 101n iniiiifffBxnn? ?????????????????? ??????? ??（35）由于 f 在 上凸，則有??0,1，iiiffnn???????????????????11iiniif fn?????????????由（35 ）可得西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）17， ． ????1。nnBfxfx????0,1? 3．由條件 和 f 的凸性推知1。nnff? （36）1iiiifffn???????????????????對(duì) 成立．因?yàn)?f 是凸函數(shù)，在子區(qū)間 中， ，曲0,1,in??? ,in???????1,2in??線應(yīng)不在由 與 兩點(diǎn)所確定的直線段的上方．但??yfx?1,iifn???????,ifn??????是（36 ）表明曲線上的點(diǎn) 恰在這一段直線上，所以曲線必定與,1iif???????這一段直線重合．4．對(duì)于任何固定的 ， 由已經(jīng)證明的第二個(gè)結(jié)論可知:任何 則n??m??， ． ????。nnmBfxfx????0,1?令 ，根據(jù) f 的連續(xù)性以及 Bernstein 收斂定理得，m??其中 ．證畢．??。nBfx???0,1x? Bernstein 多項(xiàng)式序列的單調(diào)下降性蘊(yùn)含著其被逼近函數(shù) f 的凸性． 定理 3．3 凸性逆定理（L．Kosmak）設(shè) f： 有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)并且??0,1R? （37）????1。nnBfxfx??對(duì) 以及 成立，那么 f 必然是 上的凸函數(shù)．??0,1x????0, 證明: 首先，給出均差的概念，函數(shù) f 在兩點(diǎn) ， 處的一階均差1x2西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）18定??12,fx義為 ． （38）????2112,fxff??當(dāng) f 有一階導(dǎo)數(shù)時(shí)，由微分學(xué)中值定理可知：存在著 與 之間的一個(gè)實(shí)數(shù) 使得1x2? ．????12,fxf???f 的一階均差的均差稱為二階均差： ．????2312123,fxfxfx??當(dāng) f 有二階導(dǎo)數(shù)時(shí)，二階均差與二階導(dǎo)數(shù)有以下關(guān)系 ， （39）????123,!fxf???其中 介