【正文】 的研究．在現(xiàn)實(shí)生活中，對(duì)于某些具體問(wèn)題，我們可以觀察很多數(shù)據(jù)，用觀察法很難發(fā)現(xiàn)規(guī)律，但利用多項(xiàng)式逼近來(lái)研究實(shí)際問(wèn)題的規(guī)律，往往能簡(jiǎn)化用來(lái)擬合觀測(cè)數(shù)據(jù)的復(fù)雜函數(shù)，使得問(wèn)題簡(jiǎn)化，從而多項(xiàng)式逼近問(wèn)題在數(shù)學(xué)領(lǐng)域和實(shí)際生活領(lǐng)域中得到廣泛的應(yīng)用．因此，研究區(qū)間上連續(xù)函數(shù)用多項(xiàng)式逼近的性態(tài)，進(jìn)而對(duì)其進(jìn)一步研究有著十分重要的意義．西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）3第 2 章 Weierstrass 逼近定理的證明及應(yīng)用在一致逼近的理論中，遇到的第一個(gè)問(wèn)題是:在預(yù)先給定的精度下，能否用多項(xiàng)式逼近任意給定的連續(xù)函數(shù)? 1985 年，Weierstrass 對(duì)這個(gè)問(wèn)題給出了肯定回答．Weierstrass 逼近定理是函數(shù)逼近論中的重要定理之一，該定理闡述了在預(yù)先給定的精度下，可以用多項(xiàng)式逼近任意給定的閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)．Weierstrass 逼近定理 設(shè) ，則存在多項(xiàng)式 ，????,fxCab?(), n=12,3npx??使 ．limax()0nnbf?????2．1 Weierstrass 逼近定理的第一種證明2．1．1 Weierstrass 逼近定理的 Bernstein 證明 對(duì)于這個(gè)著名的定理，有多種不同的證明方法．下面將給出 Bernstein 的證明．定義 設(shè) ， 的第 個(gè) Bernstein 多項(xiàng)式由下式給出:????1,0Cxf???xf?1?n． （21）kknknn xB?????????)()。()(0顯見(jiàn) ．nPfB 引理 下列恒等式成立: (1) ，??10?????????knknkx (2) ，00?????????knknkx西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）4 (3) ．??????xnxknxknk ????????????1120引理 對(duì)任意給定的 及 ，有0???，??241?nxknkxk?????????其中求和號(hào)表示對(duì)固定的 滿(mǎn)足不等式 的 求和．??xk該引理的意義在于當(dāng) 很大時(shí)，在和式 中，起主要作用的只是滿(mǎn)n??01nnkkk?????????足條件 的那些 值所對(duì)應(yīng)的項(xiàng)的和，而其余的項(xiàng)對(duì)和的值無(wú)多大影響．???xnkk 證明： 我們從(1)知 ，??10?????????knknkx因此兩邊同時(shí)乘以 有??f．xf???knknkxf????????10對(duì)任意 ，我們有0????xfBn?????knknk xxff ???????????????10?????????????xnkff knk???????+ ．?????????xnkxff ?knkx???????1由于 在 處連續(xù)，對(duì)任給 ，存在 ，使得??xf 0??0?西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）5當(dāng) 時(shí)， ，???xnk???????????xfnkf故第一個(gè)和式 ????????????xnkxff ?knkx???????1 ．??knkxnk??????????????knknkx?????????0??又由 在 上連續(xù)，所以存在 ，使得??xf??1,0M?． ????xfnkfxfnkf ????????????????故由引理 ，第二個(gè)和 ????????????xnkxff ?knkx???????1．???????????xnkknkM124?M?因此，對(duì)任何 ，先取 ，使得0??0當(dāng) 時(shí)，???xnk???????????xfnkf然后固定 ，再取 充分大，就有 ．證畢． ? 2fBn注意到我們?cè)诙ɡ淼淖C明中，對(duì)第一個(gè)和只用到 在 處連續(xù)，對(duì)第二個(gè)和??xf只用到 在 上有界．因此有??xf??1,0Bernstein 定理 ： 設(shè) 在 上有界，則 在任何 的連續(xù)??xf??1,0fBn???lim??xf點(diǎn) 成立．如果 ，則極限在 上一致成立．??,?x,C???,注 (1) 若有界函數(shù) 在點(diǎn) 處存在有限的二階導(dǎo)數(shù) ，??xf ??xf?西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）6則 ，其中 ．??????nxnfxfBn ??????12?????n0 (2) 若 在 上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù) ，則 一致收斂于 ．f??,0xf?xBn???xf?(3) 設(shè) ，那么 在 上一致地成立．??1,Cx?????ppn???lim??1,0(4) 若 ， ，那么， ， ．??0?fp??,???fpn?x, (5) 若 在 上是非減的，那么 在 上也是非減的．xf1, fBn??1,0 (6) 若 在 上是凸的，那么 在 上也是凸的．??f??,0??fn,由以上的推論可知，一個(gè)連續(xù)函數(shù)的 Bernstein 多項(xiàng)式逼近與被逼近函數(shù)的極值和高階導(dǎo)數(shù)有關(guān)，并且單調(diào)的和凸的函數(shù)分別產(chǎn)生單調(diào)的和凸的逼近．2．1．2 閉區(qū)間 上的 weierstrass 逼近定理??ba, 設(shè) ，則存在多項(xiàng)式 ，使得??Cxf?nnPxp?)(． （22）0mali?????fbxn證明： 令 ，則有 ．??yx??????yabyf???因?yàn)?，所以 是定義在 上的連續(xù)函數(shù)，aby????1,0于是由 Weierstrass 逼近定理知存在多項(xiàng)式 ，使得對(duì)于一切 ，??knycQ??0 ??1,0?y有．????????????nkycabyfQy0也就是 ．證畢．??xxcfnkk,0??????????西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）72．2 Weierstrass 逼近定理的第二種證明首先引入切比雪夫多項(xiàng)式(Chebyshev’s polynomials)的一個(gè)多項(xiàng)式核．引理 恒等式 cos 為真，???,21,coscos2101 ???????nnknk???其中 為某些常數(shù)．????n10,???推論 當(dāng) 時(shí)，恒等式??,0?x成立．?????,21,2arcos10?????nxnknk?定義 稱(chēng)多項(xiàng)式 為 次切比雪夫多項(xiàng)式．Tnarcos設(shè) 是 次切比雪夫多項(xiàng)式，對(duì)任意 ，在 ???xxTnarcos12cos12??? 12?Nn?上令??,?，其中 ． （23 ）????21????????xTxKnn? ??dxTnn21???????????如上定義的 在定理證明中將起到多項(xiàng)式核的作用．它具有下列性質(zhì):n性質(zhì) 1 是 次多項(xiàng)式，且是偶數(shù)．??xKn4性質(zhì) 2 由定義顯然有下面的恒等式 ．??11???dxKn性質(zhì) 3 對(duì)于 何 ，及 都有 ．??1,0??N??n1?證明：由第一種證明可知，我們只需證明 的情況即可．首先將??,??ba連續(xù)開(kāi)拓到 上．??xf??2,?例如，我們令 顯然， 在 上一致連續(xù)．??xf?????.,21,??????xff ??xf??2,?西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）8對(duì)任意 ，當(dāng) 時(shí)，以 為核構(gòu)造函數(shù)Nn?x??1,?nK ． (24)???dtxtfPnn ??????????332由于 是 次多項(xiàng)式，故 ．所以nK4??knknxttK????????40?，????knnkdtxtf???2其中 是常數(shù)，故而 是一個(gè) 次的多項(xiàng)式．??nk?Pn4令 ，(24)就變?yōu)?xt??? (25)?????dKxfPnn????32由性質(zhì) 2，可得????xPfn???????? ?321xnn dKfdKf ?? = ????xfn??3+ ???dKfn?????????13 ????dKxfnx3323?????????? +?????3?xfn?fn????????13 + ．????dKfnxx3323??????????將上式中最后所得三個(gè)積分依次記為 ．32,1I由于 在 上一致連續(xù)，故對(duì)任意 ，存在 ．當(dāng)??xf??2,?0??0?西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）9時(shí)必有 ， (26)??2,2121????xx??????21xff所以 ．??????dKIn31設(shè) ，那么????xfMx2,ma???．?????nMdKIn6213???．?Inxx???????????3233 ?????ndKn613??????????所以 ．???xPfn2?因此，對(duì)任意 ，先取定 ，使(26)成立，然后固定 ，再取 充分大就有0????n．證畢．??2??xPfn2．3 Weierstrass 逼近定理的推廣2．3．1 Weierstrass 第二定理Weierstrass 逼近定理說(shuō)明了可以用多項(xiàng)式來(lái)逼近 上的連續(xù)函數(shù)，??ba,Weierstrass 第二定理將給出關(guān)于三角多項(xiàng)式和周期連續(xù)函數(shù)的一個(gè)相應(yīng)的結(jié)論． 設(shè) ，對(duì)任意 ，存在三角多項(xiàng)式 ，使得對(duì)于一切實(shí)數(shù) ，都???2Cxf?0????xTx有 ．其中 表示 上以 為周期的連續(xù)函數(shù)集合．???T?2????,?2也就是說(shuō)，任何具有周期 的連續(xù)函數(shù)都能用三角多項(xiàng)式一致地逼近．引理 若 ，則對(duì)于任何 ，等式 都成立．????2Cx?a????dxxa???????202引理 對(duì)任何 有下面的恒等式 ．Nn 2!1cos20?ntdn?西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）10引理 對(duì)于一切實(shí)數(shù)，一致地有 ．??xfVn???lim其中 ， ．???2Cxf???dttfnxVnn 2cos21!??????要想由此推得 Weierstrass 第二定理，只須證明 是一個(gè)三角多項(xiàng)式即??xVn可．為此，我們需要下列引理．定義 若 ，則稱(chēng)三角多項(xiàng)式0??nba的階為 ． （27）???????kkn xbAxT1sinco引理 兩個(gè)三角多項(xiàng)式的乘積仍為一個(gè)三角多項(xiàng)式，且其階等于兩因子階之和．引理 若三角多項(xiàng)式 為一偶函數(shù)，即 ，則??xT??xT??它可以表示成 的形式，即式中不含倍角的正弦．?????nkaAxT1cos2．3．2 WeierstrassStone 定理 設(shè) 是某個(gè)度量空間中的任意子集，它至少包含兩個(gè)不同的元素，并且在 上E E成立有限覆蓋定理．設(shè)定義在 上的實(shí)函數(shù)系 組成一個(gè)線性空間，且構(gòu)成一E????xp個(gè)環(huán) ，這個(gè)環(huán)包含常數(shù)，且對(duì)于 中任意兩個(gè)不同的元素 ， ，在環(huán) 中存在函Y 12xY數(shù) ，使 ，于是對(duì)于 上定義的任意一個(gè)實(shí)連續(xù)函數(shù) ，對(duì)于任??xp??21xp? ??f給 ，在 上存在元素 ，使得有0??．??Expxf???,?利用 Stone 定理可以得到很多有用的逼近定理，例如下面的有理函數(shù)逼近定理西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）11設(shè) ，則任給 ，存在有理函數(shù) ， 使??????,Cxf 0??????xR， ．??xRf ??x其中 表示分子的次數(shù)不大于分母次數(shù)的全體實(shí)系數(shù)有理函數(shù) 空間．? ??x2．3．3 Weierstrass 逼近定理的逆定理Weierstrass 逼近定理從正面闡述了連續(xù)函數(shù)可以用多項(xiàng)式來(lái)逼近的重要性質(zhì)，反之，如果一個(gè)定義在閉區(qū)間上的函數(shù)能用多項(xiàng)式逼近，則該函數(shù)必然是連續(xù)函數(shù)．定理