【正文】 S．Bernstein polynomial。 1nnnkknnkkkBfxfPxfx??????????對(duì)函數(shù) 進(jìn)行逼近，這是一類經(jīng)典而豐富的研究課題，它可以追溯??,1fC?到 1912 年，從那時(shí)起已有近千篇關(guān)于這一課題的論文出版．從提供計(jì)算工具的觀點(diǎn)來(lái)看，由顯式表示出來(lái)的算子(即在計(jì)算上具有能行性的算子)一般最受歡迎．Bernstein 算子作為具有顯式表示的正線性算子，以其結(jié)構(gòu)形式的簡(jiǎn)單優(yōu)美及許多良好的性質(zhì)吸引了許多人去研究推廣它．羅馬尼亞數(shù)學(xué)家 D．D ．Stancu 是研究 Bernstein 算子的大專家，它引進(jìn)的一類廣義 Bernstein 算子具有豐富的概括性，由于它所構(gòu)造的都是顯式表示的線性算子，所以在實(shí)際計(jì)算上都是可用的，而且也有逼近偏差的估計(jì)．此外，由 Bernstein 算子變形產(chǎn)生了許多算子，諸如:西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）14Szasz 一 Mirakjan 算子: ????0。nBfx可以得到 （34） ????1。nBfx0,2. 對(duì) 及 成立；??1。nnBfxfx????0,1? 3．由條件 和 f 的凸性推知1。 knnknnkKffxftd?????????????n??并且有 ．1nKDBS?其中，D 是微分算子，S 是定積分算子，即 ， ．??:0,1,LC???0xSffzd??由此，可以把 Bernstein 算子的一些性質(zhì)傳遞到 Kantorovich 算子．觀察 Bernstein 算子，可以發(fā)現(xiàn)將其中的 換為區(qū)間 上的值kfn??????1,kn???????，就可以得到 Kantorovich 算子．????111knknknftdftd??????西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）213．2．2 Kantorovich 算子的性質(zhì)特別的，當(dāng) 時(shí)，Kantorovich 算子具有如下性質(zhì)：??0,1fC?性質(zhì) 若 f 在 上單調(diào)，則 也在 上單調(diào)．,??nKfx??0,1性質(zhì) 為凹連續(xù)模 【9】 ，滿足??1h? ， ，??1,fhf????0,1h?則對(duì)于一切 有1n? ， ．????1,2,nKfhf???0,1h性質(zhì) 設(shè) ，對(duì)于一切 成立??0,1fC?? ， ．????,4,nfhf????0,1h?若 為凹連續(xù)模，則有??,fh? ， ．????,2,nKfhf???0,1h性質(zhì) 若 f 是 Lipschitz 函數(shù)，則對(duì)于一切 ， 也是 Lipschitz 函數(shù)．n?nKf3．2．3 Lebesgue 可積函數(shù)的 Kantorovich 算子逼近先考慮 Kantorovich 算子對(duì)連續(xù)函數(shù)的逼近情況，有下面定理成立．定理 3．4 設(shè) ，????0,1fxC?，??????10。nKf?????????11100 1 pknnk kkknxftfxtdxd??????? ???? ??????? ?????? ??????11100 pknnkkMxftxdtm???? ???? ???? ????? ???? 由定理 3．4 對(duì)于任意給定的 ，總可以找到一個(gè)充分大的 ，使得當(dāng)???N時(shí)，恒成立nN? ， ，????110pn nKfxfKfxfdx??????； ； ??0,1?p? 取 ，則Mm??? ．證畢．??。pnpAfxf?1n?若 ， ，對(duì) 成立．0x???。1knnknnkKfxfxftd?????????????n??它們的概念、一些具體的性質(zhì)以及推廣． 最后，引進(jìn)推廣到無(wú)窮區(qū)間上的西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）34S．Bernstein 多項(xiàng)式，??????10。 !p pkpnxpnk nxefBfxfxf????????????????? ????10!pkpknxfxf????????????10!pkpnxA?????? ??111012 !+ppkpkppkAxnnxkx????????????????10!ppkkxnxA?????????10!ppkknxA??????????1pnxpexn???? ????122ppnxnxAee?????當(dāng) 時(shí)，對(duì)一切對(duì) ，由上述推導(dǎo)有01x?x? ????????????1222。pnBffx???證明：當(dāng) 時(shí)，結(jié)論顯然成立．0x?當(dāng) 時(shí)，記，0???110ppkffxn??????????????西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）27由于當(dāng) 時(shí)， ，于是對(duì)于固定的 ，當(dāng) 充分大時(shí)，有x?????0mfx?nk ， （ 為常數(shù)）11ppkfnM?????????????因此當(dāng) 充分大時(shí)，有k ????110 0! !pk pkppnxnxffn??????????????????由 收斂，于是有 收斂，于是得到??00!mpkpknxM??????100!pkpkxn?????????? ???? ??0100。 knknknk knftdtKfxx? ???????????????0???,1t? 注 若 ， ， （ ）為與 t 無(wú)關(guān)的常數(shù)，則有??kktC??0,t?k,1n??．??。nnBfxfx??對(duì) 以及 成立，那么 f 必然是 上的凸函數(shù)．??0,1x????0, 證明: 首先，給出均差的概念，函數(shù) f 在兩點(diǎn) ， 處的一階均差1x2西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）18定??12,fx義為 ． （38）????2112,fxff??當(dāng) f 有一階導(dǎo)數(shù)時(shí)，由微分學(xué)中值定理可知：存在著 與 之間的一個(gè)實(shí)數(shù) 使得1x2? ．????12,fxf???f 的一階均差的均差稱為二階均差： ．????2312123,fxfxfx??當(dāng) f 有二階導(dǎo)數(shù)時(shí)，二階均差與二階導(dǎo)數(shù)有以下關(guān)系 ， （39）????123,!fxf???其中 介于 的最小值與最大值之間．利用均差的記號(hào)， （35）右邊的?123,xBernstein系數(shù)可以寫(xiě)為 ，211,iiiifnn???????????????從二階均差的性質(zhì)可知，有一點(diǎn) ， 以及 ， 使得,ii????????,2n??0??1n?11iiiifffnnn???????????????????， ．??21iiif?????????01in?則， （35 ）可以改寫(xiě)為西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）19 （310）????1。ndBfx??,1???。nnnfxfxBgx?????如果 對(duì) 成立，那么 對(duì) 成立，這表明 是正線性?0fx???,1?。inniBfxfBx????????稱它為 f 的 n 次 Bernstein 多項(xiàng)式，這中多項(xiàng)式是 1912 年由 Bernstein 給出的，他并且證明了：當(dāng) f 在 上連續(xù)時(shí)??0,1 （32）??lim。 Kantorovich operator。 !knxnknxSfef????BaskakoV 算子 : ??01。00,。nnfxf????,1?n?西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）163. 如果 f 在 上連續(xù)，那么由 ， 可以導(dǎo)出 f 是子??0,1????1。nnff? （36）1iiiifffn???????????????????對(duì) 成立．因?yàn)?f 是凸函數(shù)，在子區(qū)間 中， ，曲0,1,in??? ,in???????1,2in??線應(yīng)不在由 與 兩點(diǎn)所確定的直線段的上方．但??yfx?1,iifn???????,ifn??????是（36 ）表明曲線上的點(diǎn) 恰在這一段直線上，所以曲線必定與,1iif???????這一段直線重合．4．對(duì)于任何固定的 ， 由已經(jīng)證明的第二個(gè)結(jié)論可知:任何 則n??m??， ． ????。 knnknkKfxftd????????????那么對(duì)于任意給定的 ，總可以找到一個(gè)充分大的 ，使得當(dāng) 時(shí)，恒??Nn?西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）22有， 成立．??。nMfxm??????西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）25第 4 章 S．Bernstein 多項(xiàng)式在無(wú)窮區(qū)間上的推廣4．1 無(wú)窮區(qū)間上 S． Bernstein 多項(xiàng)式的定義引進(jìn)推廣到無(wú)窮區(qū)間上的 S．Bernstein 多項(xiàng)式的更一般的形式 （41）??????10。pnAfBfx??1x?證明：當(dāng) 時(shí)，2?????????2 220。 !ppknxpnknxBfef??????????進(jìn)一步研究了無(wú)窮區(qū)間上連續(xù)函數(shù)用多項(xiàng)式逼近的性態(tài)，并得到了相關(guān)結(jié)論． 由于時(shí)間和能力的有限，對(duì)上述問(wèn)題只進(jìn)行了簡(jiǎn)單的分析總結(jié)．西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）35參考文獻(xiàn)[1] 林成森 數(shù)值分析[M] 北京:科學(xué)出版社，2022．[2] 裴禮文 數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法[M] 北京:高等教育出版社 1993．[3] 常庚哲、史濟(jì)懷 數(shù)學(xué)分析教程[M] 高等教育出版社，2022．[4] 肖江 Bernstein 型算子的逼近研究[J] 江蘇大學(xué)學(xué)報(bào)， 2022．[5] 徐利治、王仁宏、周蘊(yùn)時(shí) 函數(shù)逼近的理論與方法[M] 上?？茖W(xué)技術(shù)出 1983．[6] 孫永生 函數(shù)逼近論[M] 北京師范大學(xué)出版社，1989．[7] 劉洋、李宏 關(guān)于 Weierstrass 逼近定理的幾點(diǎn)注記 [J] 數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn) 2022 年第 2 期．[8] 丁春梅 Bernstein 型算子同時(shí)逼近誤差[J] 數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)， 2022 年第 01 期．[9] 莫國(guó)端、劉開(kāi)第 函數(shù)逼近論方法[M] 北京科學(xué)出版社，2022．[10] 程麗 BernsteinKantorovich 算子線性組合同時(shí)逼近的等價(jià)定理[J] 浙江大學(xué)學(xué)報(bào)，2022 年第 5 期．[11] 高義、黃永東 一種遞推的 Kantorovich 型算子的逼近[J] 內(nèi)蒙古大學(xué)學(xué)報(bào)，2022 年第 6 期．[12] 蔡冦華．關(guān)于 Bernstein 多項(xiàng)式( ， )區(qū)間上的推廣形式[J] ．南京工學(xué)???院學(xué)報(bào)，1988，18(5)：134138．[13] Achieser，N．I． Theory of Approximation[J]， New York: Dover Publication， INC． ， 1992．[14] 吳華英． Bernstein