【正文】 !ppknxpnknxBfef??????????進(jìn)一步研究了無窮區(qū)間上連續(xù)函數(shù)用多項(xiàng)式逼近的性態(tài)，并得到了相關(guān)結(jié)論． 由于時(shí)間和能力的有限，對(duì)上述問題只進(jìn)行了簡(jiǎn)單的分析總結(jié)．西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）35參考文獻(xiàn)[1] 林成森 數(shù)值分析[M] 北京:科學(xué)出版社，2022．[2] 裴禮文 數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法[M] 北京:高等教育出版社 1993．[3] 常庚哲、史濟(jì)懷 數(shù)學(xué)分析教程[M] 高等教育出版社，2022．[4] 肖江 Bernstein 型算子的逼近研究[J] 江蘇大學(xué)學(xué)報(bào)， 2022．[5] 徐利治、王仁宏、周蘊(yùn)時(shí) 函數(shù)逼近的理論與方法[M] 上海科學(xué)技術(shù)出 1983．[6] 孫永生 函數(shù)逼近論[M] 北京師范大學(xué)出版社，1989．[7] 劉洋、李宏 關(guān)于 Weierstrass 逼近定理的幾點(diǎn)注記 [J] 數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn) 2022 年第 2 期．[8] 丁春梅 Bernstein 型算子同時(shí)逼近誤差[J] 數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)， 2022 年第 01 期．[9] 莫國(guó)端、劉開第 函數(shù)逼近論方法[M] 北京科學(xué)出版社，2022．[10] 程麗 BernsteinKantorovich 算子線性組合同時(shí)逼近的等價(jià)定理[J] 浙江大學(xué)學(xué)報(bào)，2022 年第 5 期．[11] 高義、黃永東 一種遞推的 Kantorovich 型算子的逼近[J] 內(nèi)蒙古大學(xué)學(xué)報(bào)，2022 年第 6 期．[12] 蔡冦華．關(guān)于 Bernstein 多項(xiàng)式( ， )區(qū)間上的推廣形式[J] ．南京工學(xué)???院學(xué)報(bào)，1988，18(5)：134138．[13] Achieser，N．I． Theory of Approximation[J]， New York: Dover Publication， INC． ， 1992．[14] 吳華英． Bernstein 多項(xiàng)式在無窮區(qū)間上的推廣 [J]．?dāng)?shù)學(xué)進(jìn)展 1986．5(2)：185138．[15] Lorentz G．G． Bernstein Polynomials[J]，Toronto:Univ ．of Toronto Press，1953． [16] 李文清 關(guān)于伯恩斯坦——康托洛維奇多項(xiàng)式的逼近[J ] 廈門大學(xué)學(xué)報(bào)， 1962 年 01 期． [17] 何甲興 關(guān)與 Bernstein 多項(xiàng)式導(dǎo)數(shù)的迭代極限[J ] 數(shù)學(xué)研究與評(píng)論，1995西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）36年 01 期． [18] 蔣紅標(biāo)、謝林森 Bernstein 算子線性組合同時(shí)逼近的正逆定理[J ] 工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2022 年 03 期． [19] 王白銀 多項(xiàng)式序列一致逼近連續(xù)函數(shù)的兩個(gè)結(jié)論[J] 貴州師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2022 年 02 期． [20] 保懷、杜芳琦 Bernstein—Kantorovic 多項(xiàng)式算子在 Ba 空間的一致逼近[J] 南都學(xué)壇，1990 年 S1 期．西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）37．。()(0和切比雪夫多項(xiàng)式 ???xnxTnarcos分別給出了相應(yīng)的證明．其次了解 Bernstein 多項(xiàng)式以及由 Bernstein 算子推廣得到的 Kantorovich 算子， ，????????10。ppppp nxnxnxnxnxpnAeeAeefBf?? ????????????????所以，對(duì)于一切 ， （ ）證畢．1x?。nfxBf???0x???當(dāng) 時(shí)，若 ，結(jié)論顯然成立．2p?0?若 ，應(yīng)用引理 及已知條件1x????西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）32 ????????10。pnAfBfx??1x?證明：當(dāng) 時(shí)，2?????????2 220。2p?1????0???2。 !p pkpnxpnk xBfefn????????????????? ??????0100 !p pkpnxkxfe????????????故只需證明 ????010lim!p pkpnxknxe????????????我們有 ????010!p pkpnxknxe???????????西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）28 ????????0 01 10 01 10 0! !p ppk pkp pnx nxk kx nxeen??? ?? ????????????????? （42）12??應(yīng)用引理 和引理 ，并采用前面的記號(hào)，選取 ，使得 ，則有?01px??????010101 !p pkpnxkxnxeffn???????????? ??????010002!ppknx pkxMxnxke????????????? ????0 02!ppknxpknxe??????? ????002ppnxnxpM?? （43）02pn????對(duì)于 2? ????00102 !ppk pkpnx nxe???????????? ?? ???? ????00 01 10 0! !ppk pkpk pkp pnxxn nxnxe? ????? ??????????????????? （44）21???西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）29由于 在 點(diǎn)連續(xù)及引理 ，則有??fx0 ?? ??001021 !pp pkpnxkx nxeffn????????????? ????00!pppknxkxe?????? （45）??00!ppknxke??????對(duì)于 ，由已知 ，即存在正數(shù) ， 使得當(dāng) 時(shí)，有2?mf??MAx???mfx??又由已知條件存在 ，使得對(duì)任意 ，有 ，以及引理 ，當(dāng)0M???0,???0fx?充分大時(shí)，n?? ??00102 !ppk pkpnxnnxeff????????????? ?? ??011010!pp pkpnxk nxkeffn??????????????????????????01 1 10 01 1 0! !!p p pp pk k pkp pnxk k kAxAxn nnnxef f f? ????? ??? ?????? ????????????? ??????????????01 1 10 00 0 0!!!pp p pp pmpk pk knxk k kAxAxn n nxeMMf? ???????? ?? ???????? ?西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）30?????????????01 1 110 0 00 0 0!!!pp p pp ppmpk pk knxk k kx xAxn n nnxeMMf? ? ????????? ?? ??????? ????? ????0 01 110 000! !p ppp pmpkx xk kn ne fe? ???? ??? ????????????0 00 0100! !p pp ppkm kx xpkn knxxMenMfe? ???? ????? ?????00 210 0ex!3pppkmpx pkn????? ???? ?????? ?? ?????00210 0!pppk px mknxnenx? ?? ???? ???? ???????? ? ????0021 0ep!3pp knxmp pknxme????? ???? ?????? ? ??????00021 0exp!3pppknxmp pnmkx ne? ????? ?? ??????????? ?? ????20201 00expexp33ppm pnxnn ??? ???? ?????????????????? ? （46）??221000expexp33mppnnn?????????????????????由于 以及（42） 、 （43） 、 （44） 、(45)、????121 200li lim3ppmpn nxx??????????????（46）式得，當(dāng) 時(shí)，結(jié)論成立．證畢．0?西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）31定理 若 在 上滿足條件??fx?0,?? ，??ffyAx???01??其中 為常數(shù)，當(dāng) 時(shí)，對(duì)于一切 ，A2p?1n? ，??2。pnBfxf???由于（41 ）式中 是任意的正整數(shù)，故可根據(jù)已知函數(shù) 結(jié)構(gòu)適當(dāng)?shù)倪x擇??fx，使得 的 S．Bernstein 多項(xiàng)式的形式簡(jiǎn)單．p??fx西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）264．2 無窮區(qū)間上 S． Bernstein 多項(xiàng)式逼近定理 首先介紹三個(gè)引理． 引理 設(shè) 是定義在 上的函數(shù)，在任一有限區(qū)間上有界， ??fx??0,??為 的連續(xù)點(diǎn)，則對(duì)于任意的 ，對(duì)任一正整數(shù) 存在 ，使得當(dāng)0x???fx??n0??時(shí)，有 ；且對(duì)于任意的 ，當(dāng) 時(shí)，有0n?????0ffx??0Rx?R? ???0 02nMff????其中 ．????0supxRMf?? 引理 （ ， ）0!kk e??????????0?2??? 引理 對(duì) ，有1? ， ．20exp!3kke?????? ?????????????????? 定理 設(shè)函數(shù) 在 上有定義 ，對(duì)每一個(gè) ，在 上有界，??fx?,??0R???,且存在正整數(shù) ，使得當(dāng) 時(shí)， ，m???0mfx?那么在 的任一連續(xù)點(diǎn) 處，有??fx0x ．??00li。nMfxm??????西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）25第 4 章 S．Bernstein 多項(xiàng)式在無窮區(qū)間上的推廣4．1 無窮區(qū)間上 S． Bernstein 多項(xiàng)式的定義引進(jìn)推廣到無窮區(qū)間上的 S．Bernstein 多項(xiàng)式的更一般的形式 （41）??????10。nfx??????0,1x?p?證明： 。nnKfxf?? 設(shè) （ ）在 上有上界和下界，分別記為 M 和 m，且 ，kt0,1n???0,1 0?則得到下面定理．西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）24 定理 3．6 設(shè) ， 如（ 314）式，那么對(duì)于任意給定的????0,1pfxL???。 knnknkKfxxftd????????????則對(duì)任意給定的 ，總可以找到一個(gè)充分大的 ，使得當(dāng) 時(shí)，存在 上0??Nn???0,1西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）23具有緊支集的連續(xù)函數(shù) ，有??gx， ， ． (313)????110pn nKgxfKfxd???