【正文】 xy ?? ,代入到函數(shù) ),( yxf 中可得一元函數(shù) ]2,510[,44)( 31 ???? xxxxf,對 )(1xf 求一階導(dǎo)數(shù)可得43)( 21 ?? xxf ,令 043)( 21 ??? xxf ,求得函數(shù) )(1xf 的極值點 3321?x , 3322 ??x ,因為]2,510[3 322 ???x ,故舍去 ,把 3321?x 代入函數(shù) )(1xf 中 ,可得 9 3164)3 32(1 ??f .再求得)(1xf 的端點函數(shù)值為 2510184)510(1 ??f , 4)2(1 ?f .同理 ,可求得 ]510,0[,03:2 ??? xyxl的極值為 0)0(2 ?f ,端點函數(shù)值為 0)0(2 ?f , 2510184)510(2 ??f. ]510,0[,03:3 ??? xyxl的函數(shù)極值為 0)0(3 ?f ,端點函數(shù)值為 0)0(3 ?f , 2510184)510(3 ??f.綜合上述扇形區(qū)域內(nèi)的函數(shù)值和扇形區(qū)域邊界上的函數(shù)值可得 ),( yxf 的最大值為 4 ,最小值為 0 . （二）二元連續(xù)函數(shù)在曲邊梯形區(qū)域上的最值 二元連續(xù)函數(shù) ),( yxfZ? 在曲邊梯形區(qū)域 D 上的最值問題 ,我們同樣分兩部分進行討論 . 第一部分 ,曲邊梯形區(qū)域內(nèi)函數(shù)的最值 ,對函數(shù) ),( yxfZ? 求一階偏導(dǎo)數(shù)之后 ,令 ????? ??? ?? ,in t),(,0),( ,0),(39。 解 由 ????? ???? ??? Dyxxyyyxf yxyxfyx in t),(,022),( ,02),(39。39。39。39。,[)(( nibaxxf iii ??? 中 ,求得相應(yīng)的極值（可能的最值） ),3,2,1。39。39。39。 ?? yxfA xx , 0),(39。239。39。39。 ??? , 239。39。39。39。39。39。當(dāng) 02 ??ACB 時 , ),3,2,1)(,( ??iyxp ii 不是二元函數(shù) ),( yxf 的極值點 ,也就不可能是最值點 ]1716[],10[. ? 再將滿足條件的 02 ??ACB 的駐點代入到 ),( yxfZ? 中求出相應(yīng)的函數(shù)值 ).,3,2,1)(,( ??? iyxfZ iii （ 1） 楚雄師范學(xué)院畢業(yè)論文（設(shè)計） 2 求函數(shù) ),( yxf 在圓域邊界上的函數(shù)值 ,我們可用兩種方法來求解 .第一種方法是拉格朗日乘數(shù)法 ,引入拉格朗日函數(shù) ],[],)()[(),( 222 raraxrbyaxyxfl ????????? ? ,對函數(shù)求一階偏導(dǎo)數(shù)之后 ,令 ???????????????????,0)()(,022),(,022),(22239。39。yxlyyxylxxyxlyx??? 求解上述方程組可得到圓域邊界上的極值點有 )23,25(1M, )23,25(2 ?M, )23,25(3 ?M, )23,25(4 ??M ,將它們分別代入到二元函數(shù) ),( yxf 中 ,可求得圓域邊界上可能的最值有431)23,25(1 ?f , 431)23,25(2 ??f , 431)23,25(3 ??f , 431)23,25(4 ???f . 又由]2,2[??x 可知 )2,0(5M , )2,0(6 ?M , )0,2(7M , )0,2(8 ?M 也是可能的最值點 ,分別代入到 ),( yxf中求得可能的最值有 14)2,0(5 ?f , 14)2,0(6 ??f , 10)0,2(7 ?f , 10)0,2(8 ??f .綜合上述圓域內(nèi)和圓域邊界上所得出的最值有 6 ,431 ,10和 14 ,通過比較最值的大小可得到二元連續(xù)函數(shù) ),( yxf在圓域上的最大值為 14,最小值為 6 . 2） 轉(zhuǎn)換 法 .將圓方程轉(zhuǎn)化為 ]2,2[,4 22 ???? xxy ,把它代入到二元函數(shù) ),( yxf 中 ,得到一個一元函數(shù) 145)( 24 ??? xxxf ,對它求一階導(dǎo)數(shù)可得 xxxf 104)( 339。39。39。39。39。39。39。,[)((39。39。39。39。3,2)(( njixfZ ij ???? （ 15） 再分別求出直線段 )3,2( ?ili 的端點值 )3,2。39。39。39。,[)(( ?? ibaxxf iii 的極值點 ),3,211(1 ??ixi ,把極值點代入函數(shù) )4,3,2,1]。1 ??? ,令 ,06664)( 2339。,3,2,11。39。39。39。3,2)((2 ??? kibfZ iik （ 16） 最后綜合上述幾種情況得出的函數(shù)最值（ 12） ,（ 13),（ 14） ,（ 15）和（ 16） ,通過比較函數(shù)值的大小找出二元連續(xù)函數(shù)在扇形區(qū)域上的最大值和最小值 . 例 4 求二元函數(shù) 222),( xyyxyxf ???在扇形區(qū)域 ???????????????????],510,0[,03],510,0[,03],2,510[,422xyxxyxxyxD 上的最值。 iiyyyy yxfZC ?? ,將滿足條件 02 ??ACB 的駐點代入到 ),( yxfZ? 中求出相應(yīng)的函數(shù)值 ).,3,2,1)(,( ??? iyxfZ iii （ 12） 扇形區(qū)域的邊界不同于圓 ,橢圓和多邊形區(qū)域的邊界是有一條二次曲線圍成的封閉區(qū)域 ,或是有幾條直線段圍成的多邊形區(qū)域 ,它是由直線段和二次曲線段共同圍成的封閉區(qū)域 .拉格朗日數(shù)乘法同樣就很難解決這樣的問題 ,因此這里我們同樣采用轉(zhuǎn)換的思想方法來求扇形區(qū)域的邊界最值 .首先將曲線段方程 ],[,)()(: 112221 baxrbyaxl ????? ,變形為 ],[,)( 1122 baxbaxry ?????? ,把它代入 ),( yxf 中 ,可得到 ],[),)(,()( 11221 baxbaxrxfxf ?????? ,再對 )(1xf 求一階導(dǎo)數(shù)可得 ))(,()( 2239。 iixxxx yxfZA ?? , ),(39。1 ????xf ,可得 )(1xf 的極值點 ]1,0[54??x ,代入 )(1xf 中求得極值 556)54(1 ?f,再求得 1l 的端點值 8)0(1 ?f , 11)1(1 ?f .同理可得 )(2xf 的極值點]2,0[54???x ,故舍去 ,求得 2l 的端點值 8)0(2 ?f , 1)2(2 ??f . )(3xf 的極值點 ]2,1[109 ??x ,故舍去 ,求得 3l 的端點值 11)1(3 ?f , 1)2(3 ??f .綜合上述情況得出的函數(shù)值有 556 ,8 ,11和 1? ,通過比較所得 函數(shù)值的大小可得到函數(shù) ),( yxf 在三角形區(qū)域上的最大值為 556 ,最小值為 1? . 三、二元連續(xù)函數(shù)在其他圖形所圍成的閉區(qū)域上的最值 （一）二元連續(xù)函數(shù)在扇形區(qū)域上的最值 如何求一個二元連續(xù)函數(shù) ),( yxfZ? 在扇形區(qū)域 D 上的最值呢 ?這里我們分成兩部分進行討論 ,一是如何求它在扇形區(qū)域內(nèi)的函數(shù)最值 ,二是如何求它在扇形邊界上的函數(shù)最值 . 對于二元函數(shù)在扇形區(qū)域內(nèi)的最值 ,我們先對 ),( yxfZ? 求一階偏導(dǎo)數(shù) ,然后令 ????? ??? ?? ,in t),(,0),( ,0),(39。 xfi ,可求得函數(shù) )(xfi 的極值點 ),3,2,1( nixi ?? ,代入到函數(shù) ),2,1]。39。39。yxlyylxxlyx??? 由方程組可得到橢圓域邊界上可能的最值點有 )2,0(1M , )2,0(2 ?M