【正文】 ............................................1 （一）二元連續(xù)函數(shù)在圓域上的最值 ......................................................................................1 （二）二元連續(xù)函數(shù)在橢圓域上的最值 ...................................................................................4 二、二元連續(xù)函數(shù)在多邊形區(qū)域上的最值 ......................................................................................6 三、二元連續(xù)函數(shù)在其他圖形所圍成的閉區(qū)域上的最值 .................................................................8 （一）二元連續(xù)函數(shù)在扇形區(qū)域上的最值 ...............................................................................8 （二）二元連續(xù)函數(shù)在曲邊梯形區(qū)域上的最值 ...................................................................... 10 參考文獻(xiàn) ..................................................................................................................................... 13 致謝 ............................................................................................................................................ 14 楚雄師范學(xué)院畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） II 二元連續(xù)函數(shù)在有界閉區(qū)域上的最值研究 摘要： 本文主要對(duì)二元連續(xù)函數(shù)在二次曲線(xiàn)圍成的封閉區(qū)域，多邊形區(qū)域和一些特殊圖形圍成的封閉區(qū)域上的最值進(jìn)行了研究 . 關(guān)鍵詞： 二元函數(shù)；最值；閉區(qū)域；有界；圓域；橢圓域；扇形域 楚雄師范學(xué)院畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） III Continuous functions of two variables in the study region on the closed boundary value Abstract: This article mainly for bivariate continuous function form a closed curve of the second region, form a closed polygon area and a number of special graphics on the regional studies with the mos t value. Keywords： The binary function； Best value； Closed areas； Bounded； Circular domain； Elliptical domain； Fanshaped domain 楚雄師范學(xué)院畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 1 引言 我們可以把二元函數(shù)看成是一元函數(shù)的一個(gè)推廣，但是二元函數(shù)的最值問(wèn)題卻與一元函數(shù)的最值問(wèn)題大有不同 . 首先，二元函數(shù) ),( yxf 的定義域是平面點(diǎn)集，或是平面點(diǎn)集的子集，故二元函數(shù)),( yxf 的定義域和自變量要比一元函數(shù) )(xf 要復(fù)雜的多；其次，二元函數(shù)的最值可能出現(xiàn)在邊界曲線(xiàn)上，所以二元函數(shù)的最值問(wèn)題要比一元函數(shù)的最值問(wèn)題更加復(fù)雜 . 二元函數(shù)的最值問(wèn)題是高等數(shù)學(xué)的常見(jiàn)問(wèn)題 . 但現(xiàn)有的材料和相關(guān)論文卻相對(duì)很少，針對(duì)這一現(xiàn)狀我們對(duì)二元連續(xù)函數(shù)在有界閉區(qū)域上的最值問(wèn)題展開(kāi)了相應(yīng)的研究，在不同的區(qū)域內(nèi)二元連續(xù)函數(shù)的最值情況也是多種多樣的，所以對(duì)二元連續(xù)函數(shù)在有界閉區(qū)域上 的最值問(wèn)題進(jìn)行研究也就成為了一個(gè)非常有意義的研究性問(wèn)題之一 . 二元連續(xù)函數(shù)在有界閉區(qū)域上的最值研究 一、二元連續(xù)函數(shù)在二次封閉曲線(xiàn)所圍成的閉區(qū)域上的最值 （一）二元連續(xù)函數(shù)在圓域上的最值 如何求二元連續(xù)函數(shù) ),( yxfZ? 在圓域 })()(|),{( 222 rbyaxyxD ????? 上的最值 ,我們分兩步處理 ,先求它在圓域內(nèi)可能出現(xiàn)的最值 ,再求它在圓域邊界上可能出現(xiàn)的最值 . 首先我們對(duì)二元函數(shù) ),( yxfZ? 求一階偏導(dǎo)數(shù) ,令 ????? ?????? ?? },)()(|),{(,0),( ,0),(22239。39。39。39。39。39。rbyaxlbyyxflaxyxflyyxx????? 求解方程組可得到圓域邊界上的極值點(diǎn) ),3,2,1)(,( ??jyxM jjj ,代入到 ),( yxfZ? 中求得圓域邊界上的函數(shù)值 ).,3,2,1)(,( ??? jyxfZ jjj （ 2） 綜合圓域內(nèi)的函數(shù)值（ 1）和圓域邊界上的函數(shù)值 (2),通過(guò)比較函數(shù)值的大小找出二元連續(xù)函數(shù)在圓域上的最大值和最小值 . 求圓周曲線(xiàn)上可能出現(xiàn)的最值點(diǎn) ,我們還可以用轉(zhuǎn)換法求解 ,將圓方程 222 )()( rbyax ????變形為 baxry ????? 22 )( ,把它代入到 ),( yxfZ? 中 ,可以得到相應(yīng)的一個(gè)一元函數(shù)],[),)(,( 22 raraxbaxrxfZ ???????? ,通過(guò)求這個(gè)一元函數(shù)的極值點(diǎn)，從而可得到函數(shù)),( yxfZ? 在圓域邊界上可能出現(xiàn)的最值點(diǎn) ,進(jìn)而求得相應(yīng)的函數(shù)值 ),3,2,1)()(,( 22 ??????? kbaxrxfZ kkk （ 3） 再求 ],[),)(,( 22 raraxbaxrxfZ ???????? 的端點(diǎn)值 ),(1 brafZk ??? , ),(2 brafZk ?? . （ 4） 最后通過(guò)比較所得函數(shù)值（ 1） ,（ 3）和（ 4）的大小找出二元連續(xù)函數(shù)在圓域上的最大值和最小值 . 例 1 求二元函數(shù) 62),( 2222 ???? yxyxyxf 在有界閉區(qū)域 }4|),{( 22 ??? yxyxD 上的最值 . 解 由 ????? ????? ??? },4|),{(,024),( ,022),(22239。 22),( yyxfA xx ??? , xyyxfB xy 4),(39。 24),( xyxfC yy ??? .當(dāng)駐點(diǎn)為 )1,2(1p時(shí) , 0242 ??? ACB ,所以駐點(diǎn) )1,2(1p 不是二元函數(shù) ),( yxf 的極值點(diǎn)（即不是最值點(diǎn)） ,故舍去 .同理 ,當(dāng)駐點(diǎn)為 )1,2(2 ?p , )1,2(3 ?p , )1,2(4 ??p 時(shí) ,都分別求得 0242 ??? ACB ,所以駐點(diǎn))1,2(2 ?p , )1,2(3 ?p , )1,2(4 ??p 都不是二元函數(shù) ),( yxf 的極值點(diǎn)（即不是最值點(diǎn)） ,故全部舍去 .當(dāng)駐點(diǎn)為 )0,0(5p 時(shí) , 082 ???? ACB ,所以駐點(diǎn) )0,0(5p 是函數(shù)的極值點(diǎn) ,代入 ),( yxf 可得函數(shù)值 6)0,0( ?f .對(duì)于二元函數(shù) ),( yxf 在圓周曲線(xiàn) 422 ??yx 上的最值 ,我們分別用兩種方法討論 . 1) 拉格朗日乘數(shù)