函數(shù)的值域與最值-全文預(yù)覽
【正文】 討論。x0時，由得，x=0或x=2， （可見導(dǎo)函數(shù)只有一個零點0），下面只需研究0在開區(qū)間（a,a+2）內(nèi)，左邊或右邊）① 即時，∴x∈[a,a+2]時,，∴x∈[a,a+2時，函數(shù)f(x)在[a,a+2]上是增函數(shù)，此時f(x)的最小值為；②當(dāng)0,即2a0時，2a+20時，此時，,此時f(x)的值域為；時，此時f(x)的值域為[0，]；此時f(x)的最小值為；③a0時，此時f(x)的最小值為；綜上，f(x)的最小值為；例9設(shè)為實數(shù)，函數(shù)，．（1）討論的奇偶性； （2）求的最小值．解：（1）當(dāng)時，函數(shù)，此時為偶函數(shù)；當(dāng)時， ．此時函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)；（２）①當(dāng)時，函數(shù)．若，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，從而，函數(shù)在上的最小值為；若，則函數(shù)在上的最小值為，且；② 當(dāng)時，函數(shù)；若，則函數(shù)在上的最小值為，且．若，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，從而，函數(shù)在上的最小值為．綜上，當(dāng)時，函數(shù)的最小值是，當(dāng)時，函數(shù)的最小值是，當(dāng)時，函數(shù)的最小值是．變式1：設(shè)函數(shù)，．（１） 判斷函數(shù)的奇偶性；（2）求函數(shù)的最小值．解：（１），由于，．故既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．（２）＝由于在上的最小值為，在內(nèi)的最小值為．故函數(shù)在內(nèi)的最小值為．例10：已知函數(shù)f(x)=,x∈［1,+∞，(1)當(dāng)a=時，求函數(shù)f(x)的最小值 (2)若對任意x∈［1,+∞,f(x)0恒成立，試求實數(shù)a的取值范圍 思路分析 解法一運用轉(zhuǎn)化思想把f(x)0轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次不等式；解法二運用分類討論思想解得 (1)解 當(dāng)a=時，f(x)=x++2∵f(x)在區(qū)間［1，+∞上為增函數(shù)，∴f(x)在區(qū)間［1，+∞上的最小值為f(1)= (2)解法一 在區(qū)間［1，+∞上，f(x)= 0恒成立x2+2x+a0恒成立 設(shè)y=x2+2x+a,x∈［1,+∞，∵y=x2+2x+a=(x+1)2+a－1遞增，∴當(dāng)x=1時，ymin=3+a,當(dāng)且僅當(dāng)ymin=3+a0時，函數(shù)f(x)0恒成立，故a－3 解法二 f(x)=x++2,x∈［1,+∞當(dāng)a≥0時，函數(shù)f(x)的值恒為正；當(dāng)a0時，函數(shù)f(x)遞增，故當(dāng)x=1時，f(x)min=3+a,當(dāng)且僅當(dāng)f(x)min=3+a0時，函數(shù)f(x)0恒成立，故a－3 變式練習(xí)1：不等式對所有都成立，求實數(shù)的最大值。分析：（同學(xué)們?nèi)菀卓紤]到，設(shè)t=，則，需要再進行三角換元）解：，因此設(shè)（注意換元法不能改變變量的取值范圍），則，∵，∴，所求函數(shù)的值域為例6求函數(shù)的值域；方法1：函數(shù)在定義域[1，1]內(nèi)單調(diào)遞增，值域為方法2：三角換元，∵，∴可設(shè)∴，又所求函數(shù)的值域為；方法3：數(shù)形結(jié)合，設(shè)，則問題轉(zhuǎn)化為已知，求的取值范圍“下面的思路：（數(shù)形結(jié)合）例7設(shè)函數(shù)，（1）求函數(shù)的定義域；（2）問是否存在最大值與最小值？如果存在，請把它寫出來；如果不存在，請說明理由。1 ∵ x=2時 即 ∴函數(shù)的值域為 { y| y185。1綜上所述，函數(shù)的值域為 { y| y185。R ∴△=(y+5)+4(y1)6(y+1)0由此得 (5y+1)0檢驗 時 （代入①求根）∵2 207。方法2：由x2＋y2－2x＋4y＝0得到（x1）2+(y+2)2=5表示以（1，2）為圓心，為半徑的圓，由直線和圓有公共點，即，即，解得，所以x2y的最大值為10。設(shè)X =,Y =,則Y=X，（X0），在XOY平面內(nèi)，點P（X，Y）在射線Y=X ,X0上移動，結(jié)合圖象可知，y的取值范圍，即所求函數(shù)的值域是（0，1）。（10）； 解：方法1：，∵，∴，所以 函數(shù)的值域為。（8）；解：，∵，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時等號成立。注：總結(jié)型值域，變形：或（5）；解：三角換元法：∵，∴設(shè)，則∵，∴，∴，∴，∴原函數(shù)的值域為。又∵，∴，故，∴的值域為。改題：求函數(shù)，的值域。（答：變式3：求函數(shù)的最小值為_____；變式4：求下列函數(shù)的值域：（1） ； （2）； （3）（4） x答案：；（12）導(dǎo)數(shù)法利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值的步驟是：①求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)等于0；②確定極值點，求極值；③比較端點的函數(shù)值與極值，確定最大值與最小值或值域.求函數(shù)，的最小值。原函數(shù)可化簡為 令，則這是一“對勾”函數(shù)，其在上是減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以在上，函數(shù)的最小值是當(dāng)時， ）（10）單調(diào)性法：首先確定函數(shù)的定義域，再確定函數(shù)的定義域（或某個定義域的子集）上的單調(diào)性，最后求出函數(shù)的值域；①常用到函數(shù)的單調(diào)性：增區(qū)間為，減區(qū)間為。雙曲線的離心率為，雙曲線的離心率為，則的最小值是（ ）。轉(zhuǎn)化后要對二項式系數(shù)是否為零進行討論，就不好用判別式法了分子分母有公因式的時候不能用判別式法，要先化簡。解：由于本題的分子、分母均為關(guān)于x的二次形式，因此可以考慮使用判別式法，將原函數(shù)變形為：整理得：當(dāng)時，上式可以看成關(guān)于的二次方程，該方程的范圍應(yīng)該滿足即此時方程有實根即△,△細心的讀者不難發(fā)現(xiàn)，在前面限定而結(jié)果卻出現(xiàn)：我們是該舍還是留呢？注意：判別式法解出值域后一定要將端點值（本題是）代回方程檢驗。故函數(shù)的值域為：。解:觀察分子、分母中均含有項,可利用部分分式法；則有 不妨令：從而注意：在本題中若出現(xiàn)應(yīng)排除,另解：觀察知道本題中分子較為簡單,可令,求出的值域,進而可得到y(tǒng)的值域。變式2：的值域為_____（答：）； 變式3： 的值域為____（答：
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