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【畢業(yè)設(shè)計】區(qū)間上連續(xù)函數(shù)用多項式逼近的性態(tài)-文庫吧資料

2025-01-24 15:05本頁面
  

【正文】 ???; ; ??0,1x?p?3.2.4 加權(quán)的 Kantorovich 算子 在這些 Kantorovich 算子逼近性質(zhì)的基礎(chǔ)上,我們可以對 Kantorovich 算子進(jìn)行推廣,從而得到加權(quán)的 Kantorovich 算子.函數(shù) 的積分 可以看成 在 上的平均值,而在某些情形下,??ft??10ftd???ft??0,1考慮 f 的不同的平均值也是很重要的.例如考慮 ,這也是 f 的一種平均,??203ftd?但此時在 中接近于 1 的點與接近于 0 的點上,對 f 求平均時的分量是不同的??,(3 為正規(guī)化常數(shù)) .這種“偏重”的平均一般用一個“權(quán)”函數(shù) ??:,+[)???來描述,即 f 在 上的加權(quán) 平均為 .由此,定義加權(quán)的??0,1??10fxd??Kantorovich 算子為: , , (314)??????101。 knnknkKfxftd????????????那么對于任意給定的 ,總可以找到一個充分大的 ,使得當(dāng) 時,恒??Nn?西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(論文)22有, 成立.??。nnBffx?? ???西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(論文)20由于條件(37) ,由上式可得對 , 成立.由此可知??0,1x???0xf?????fx?在 上是非負(fù)的,因此 f 是凸函數(shù). 證畢.??0,13.2 Kantorovich 算子3.2.1 Kantorovich 算子的定義 在逼近問題中,對于不同的目標(biāo)函數(shù),采用的逼近算子也有所不同,Kantorovich 算子是 Bernstein 算子的一種推廣. 在討論函數(shù)逼近問題時,所逼近的目標(biāo)函數(shù)往往僅為 Lebesgue 可積的.這時通常采用的是 Kantorovich 算子. 設(shè) , ,Kantorovich 算子定義為:??0,1fL?,x, , (312)????????10。nnBfxfx????1 120n ini ifBx?? ???????????觀察上式可以發(fā)現(xiàn),如果在它的右邊用 來代替 ,那么除了一個數(shù)量因子1ini之外便是 的 次 Bernstein 多項式.這里我們指出,在 n 無限增??1xfx??1n?大至無窮的過程中,這種代替對于極限函數(shù)是沒有影響的,事實上,由于對 都成立,由 在 上的一致連續(xù)性,存在:1in????0,1in???f???0,1使得,對任何 ,則有N??N? , (311)??1iiffn?????????????其中 為任意給定的正數(shù).因此,當(dāng) 時? N?????1 101n ii ni iffBx?? ?????????????????????????1 10n ii ni iff? ?????????????????.????11100nni ini iBxx????????將(310 )改寫為 ????211。nBfx???0,1x? Bernstein 多項式序列的單調(diào)下降性蘊含著其被逼近函數(shù) f 的凸性. 定理 3.3 凸性逆定理(L.Kosmak)設(shè) f: 有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)并且??0,1R? (37)????1。nnff? (36)1iiiifffn???????????????????對 成立.因為 f 是凸函數(shù),在子區(qū)間 中, ,曲0,1,in??? ,in???????1,2in??線應(yīng)不在由 與 兩點所確定的直線段的上方.但??yfx?1,iifn???????,ifn??????是(36 )表明曲線上的點 恰在這一段直線上,所以曲線必定與,1iif???????這一段直線重合.4.對于任何固定的 , 由已經(jīng)證明的第二個結(jié)論可知:任何 則n??m??, . ????。nnBfxfx?? ??1 101n iniiiifffBxnn? ?????????????????? ??????? ??(35)由于 f 在 上凸,則有??0,1,iiiffnn???????????????????11iiniif fn?????????????由(35 )可得西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(論文)17, . ????1。nBfx凸函數(shù); 2.由升階公式得 ????0。nBfx???0,1xn?證明: 1.由 f 的凸性可知 210iiifffnn??????????????????對 成立,由此導(dǎo)出 對 成立,故 是0,12i?????2。nnfxf????,1?n?西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(論文)163. 如果 f 在 上連續(xù),那么由 , 可以導(dǎo)出 f 是子??0,1????1。 0n in nidBfxffBx?????????????????????可得結(jié)論,證畢. 定理 3.2 設(shè) f 是 上的凸函數(shù),于是??,11. 對于 , 在 上是凸的;n????。0nf???,1?nB算子.定理 3.1 如果 f 是 上的上升(下降)函數(shù),那么 也是 上的??0, ??。nnBfx??n上的函數(shù) f 與 g 以及任何實數(shù) 與 ,我們有??0,1?? .??????。00,。0,1nBf?}西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(論文)15這就是說,在區(qū)間 的兩端, 插值于被逼近函數(shù) f.由端點導(dǎo)數(shù)的性質(zhì),??0,1??。nBfxf???對 一致地成立.??0,1x?Bernstein 多項式一直是函數(shù)逼近論中的重要工具和研究對象.我們討論連續(xù)函數(shù) f.由 Bernstein 逼近定理.當(dāng) n 充分大時, 是 f 的一個很好的逼近,f 稱??。1knnknkkKfxxftd????????????設(shè) .對于任意的 ,定義多項式??:0,1fR?n?? (31)????0。 !knxnknxSfef????BaskakoV 算子 : ??01。()(0顯見 .nPfB 引理 下列恒等式成立: (1) ,??10?????????knknkx (2) ,00?????????knknkx西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(論文)4 (3) .??????xnxknxknk ????????????1120引理 對任意給定的 及 ,有0???,??241?nxknkxk?????????其中求和號表示對固定的 滿足不等式 的 求和.??xk該引理的意義在于當(dāng) 很大時,在和式 中,起主要作用的只是滿n??01nnkkk?????????足條件 的那些 值所對應(yīng)的項的和,而其余的項對和的值無多大影響.???xnkk 證明: 我們從(1)知 ,??10?????????knknkx因此兩邊同時乘以 有??f.xf???knknkxf????????10對任意 ,我們有0????xfBn?????knknk xxff ???????????????10?????????????xnkff knk???????+ .?????????xnkxff ?knkx???????1由于 在 處連續(xù),對任給 ,存在 ,使得??xf 0??0?西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(論文)5當(dāng) 時, ,???xnk???????????xfnkf故第一個和式 ????????????xnkxff ?knkx???????1 .??knkxnk??????????????knknkx?????????0??又由 在 上連續(xù),所以存在 ,使得??xf??1,0M?. ????xfnkfxfnkf ????????????????故由引理 ,第二個和 ????????????xnkxff ?knkx???????1.???????????xnkknkM124?M?因此,對任何 ,先取 ,使得0??0當(dāng) 時,???xnk???????????xfnkf然后固定 ,再取 充分大,就有 .證畢. ? 2fBn注意到我們在定理的證明中,對第一個和只用到 在 處連續(xù),對第二個和??xf只用到 在 上有界.因此有??xf??1,0Bernstein 定理 : 設(shè) 在 上有界,則 在任何 的連續(xù)??xf??1,0fBn???lim??xf點 成立.如果 ,則極限在 上一致成立.??,?x,C???,注 (1) 若有界函數(shù) 在點 處存在有限的二階導(dǎo)數(shù) ,??xf ??xf?西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(論文)6則 ,其中 .??????nxnfxfBn ??????12?????n0 (2) 若 在 上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù) ,則 一致收斂于 .f??,0xf?xBn???xf?(3) 設(shè) ,那么 在 上一致地成立.??1,Cx?????ppn???lim??1,0(4) 若 , ,那么, , .??0?fp??,???fpn?x, (5) 若 在 上是非減的,那么 在 上也是非減的.xf1, fBn??1,0 (6) 若 在 上是凸的,那么 在 上也是凸的.??f??,0??fn,由以上的推論可知,一個連續(xù)函數(shù)的 Bernstein 多項式逼近與被逼近函數(shù)的極值和高階導(dǎo)數(shù)有關(guān),并且單調(diào)的和凸的函數(shù)分別產(chǎn)生單調(diào)的和凸的逼近.2.1.2 閉區(qū)間 上的 weierstrass 逼近定理??ba, 設(shè) ,則存在多項式 ,使得??Cxf?nnPxp?)(. (22)0mali?????fbxn證明: 令 ,則有 .??yx??????yabyf???因為 ,所以 是定義在 上的連續(xù)函數(shù),aby????1,0于是由 Weierstrass 逼近定理知存在多項式 ,使得對于一切 ,??knycQ??0 ??1,0?y有.????????????nkycabyfQy0也就是 .證畢.??xxcfnkk,0??????????西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(論文)72.2 Weierstrass 逼近定理的第二種證明首先引入切比雪夫多項式(Chebyshev’s polynomials)的一個多項式核.引理 恒等式 cos 為真,???,21,coscos2101 ???????nnknk???其中 為某些常數(shù).????n10,???推論 當(dāng) 時,恒等式??,0?x成立.?????,21,2arcos10?????nxnknk?定義 稱多項式 為 次切比雪夫多項式.Tnarcos設(shè) 是 次切比雪夫多項式,對任意 ,在 ???xxTnarcos12cos12??? 12?Nn?上令??,?,其中 . (23 )????21????????xTxKnn? ??dxTnn21???????????如上定義的 在定理證明中將起到多項式核的作用.它具有下列性質(zhì):n性質(zhì) 1 是 次多項式,且是偶數(shù).??xKn4性質(zhì) 2 由定義顯然有下面的恒等式 .??11???dxKn性質(zhì) 3 對于 何 ,及 都有 .??1,0??N??n1?證明:由第一種證明可知,我們只需證明 的情況即可.首先將??,??ba連續(xù)開拓到 上.??xf??2,?例如,我們令 顯然, 在 上一致連續(xù)
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