【正文】 ???； ； ??0,1x?p?3．2．4 加權(quán)的 Kantorovich 算子 在這些 Kantorovich 算子逼近性質(zhì)的基礎(chǔ)上，我們可以對(duì) Kantorovich 算子進(jìn)行推廣，從而得到加權(quán)的 Kantorovich 算子．函數(shù) 的積分 可以看成 在 上的平均值，而在某些情形下，??ft??10ftd???ft??0,1考慮 f 的不同的平均值也是很重要的．例如考慮 ，這也是 f 的一種平均，??203ftd?但此時(shí)在 中接近于 1 的點(diǎn)與接近于 0 的點(diǎn)上，對(duì) f 求平均時(shí)的分量是不同的??,（3 為正規(guī)化常數(shù)） ．這種“偏重”的平均一般用一個(gè)“權(quán)”函數(shù) ??:,+[)???來(lái)描述，即 f 在 上的加權(quán) 平均為 ．由此，定義加權(quán)的??0,1??10fxd??Kantorovich 算子為： ， ， （314）??????101。 knnknkKfxftd????????????那么對(duì)于任意給定的 ，總可以找到一個(gè)充分大的 ，使得當(dāng) 時(shí)，恒??Nn?西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）22有， 成立．??。nnBffx?? ???西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）20由于條件（37） ，由上式可得對(duì) ， 成立．由此可知??0,1x???0xf?????fx?在 上是非負(fù)的，因此 f 是凸函數(shù)． 證畢．??0,13．2 Kantorovich 算子3．2．1 Kantorovich 算子的定義 在逼近問(wèn)題中，對(duì)于不同的目標(biāo)函數(shù)，采用的逼近算子也有所不同，Kantorovich 算子是 Bernstein 算子的一種推廣． 在討論函數(shù)逼近問(wèn)題時(shí)，所逼近的目標(biāo)函數(shù)往往僅為 Lebesgue 可積的．這時(shí)通常采用的是 Kantorovich 算子． 設(shè) ， ，Kantorovich 算子定義為：??0,1fL?,x， ， (312)????????10。nnBfxfx????1 120n ini ifBx?? ???????????觀(guān)察上式可以發(fā)現(xiàn)，如果在它的右邊用 來(lái)代替 ，那么除了一個(gè)數(shù)量因子1ini之外便是 的 次 Bernstein 多項(xiàng)式．這里我們指出，在 n 無(wú)限增??1xfx??1n?大至無(wú)窮的過(guò)程中，這種代替對(duì)于極限函數(shù)是沒(méi)有影響的，事實(shí)上，由于對(duì) 都成立，由 在 上的一致連續(xù)性，存在：1in????0,1in???f???0,1使得，對(duì)任何 ，則有N??N? ， (311)??1iiffn?????????????其中 為任意給定的正數(shù)．因此，當(dāng) 時(shí)? N?????1 101n ii ni iffBx?? ?????????????????????????1 10n ii ni iff? ?????????????????．????11100nni ini iBxx????????將（310 ）改寫(xiě)為 ????211。nBfx???0,1x? Bernstein 多項(xiàng)式序列的單調(diào)下降性蘊(yùn)含著其被逼近函數(shù) f 的凸性． 定理 3．3 凸性逆定理（L．Kosmak）設(shè) f： 有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)并且??0,1R? （37）????1。nnff? （36）1iiiifffn???????????????????對(duì) 成立．因?yàn)?f 是凸函數(shù)，在子區(qū)間 中， ，曲0,1,in??? ,in???????1,2in??線(xiàn)應(yīng)不在由 與 兩點(diǎn)所確定的直線(xiàn)段的上方．但??yfx?1,iifn???????,ifn??????是（36 ）表明曲線(xiàn)上的點(diǎn) 恰在這一段直線(xiàn)上，所以曲線(xiàn)必定與,1iif???????這一段直線(xiàn)重合．4．對(duì)于任何固定的 ， 由已經(jīng)證明的第二個(gè)結(jié)論可知:任何 則n??m??， ． ????。nnBfxfx?? ??1 101n iniiiifffBxnn? ?????????????????? ??????? ??（35）由于 f 在 上凸，則有??0,1，iiiffnn???????????????????11iiniif fn?????????????由（35 ）可得西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）17， ． ????1。nBfx凸函數(shù)； 2．由升階公式得 ????0。nBfx???0,1xn?證明: 1．由 f 的凸性可知 210iiifffnn??????????????????對(duì) 成立，由此導(dǎo)出 對(duì) 成立，故 是0,12i?????2。nnfxf????,1?n?西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）163. 如果 f 在 上連續(xù)，那么由 ， 可以導(dǎo)出 f 是子??0,1????1。 0n in nidBfxffBx?????????????????????可得結(jié)論，證畢． 定理 3．2 設(shè) f 是 上的凸函數(shù)，于是??,11. 對(duì)于 ， 在 上是凸的；n????。0nf???,1?nB算子．定理 3．1 如果 f 是 上的上升（下降）函數(shù)，那么 也是 上的??0, ??。nnBfx??n上的函數(shù) f 與 g 以及任何實(shí)數(shù) 與 ，我們有??0,1?? ．??????。00,。0,1nBf?}西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）15這就是說(shuō)，在區(qū)間 的兩端， 插值于被逼近函數(shù) f．由端點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，??0,1??。nBfxf???對(duì) 一致地成立．??0,1x?Bernstein 多項(xiàng)式一直是函數(shù)逼近論中的重要工具和研究對(duì)象．我們討論連續(xù)函數(shù) f．由 Bernstein 逼近定理．當(dāng) n 充分大時(shí)， 是 f 的一個(gè)很好的逼近，f 稱(chēng)??。1knnknkkKfxxftd????????????設(shè) ．對(duì)于任意的 ，定義多項(xiàng)式??:0,1fR?n?? （31）????0。 !knxnknxSfef????BaskakoV 算子 : ??01。()(0顯見(jiàn) ．nPfB 引理 下列恒等式成立: (1) ，??10?????????knknkx (2) ，00?????????knknkx西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）4 (3) ．??????xnxknxknk ????????????1120引理 對(duì)任意給定的 及 ，有0???，??241?nxknkxk?????????其中求和號(hào)表示對(duì)固定的 滿(mǎn)足不等式 的 求和．??xk該引理的意義在于當(dāng) 很大時(shí)，在和式 中，起主要作用的只是滿(mǎn)n??01nnkkk?????????足條件 的那些 值所對(duì)應(yīng)的項(xiàng)的和，而其余的項(xiàng)對(duì)和的值無(wú)多大影響．???xnkk 證明： 我們從(1)知 ，??10?????????knknkx因此兩邊同時(shí)乘以 有??f．xf???knknkxf????????10對(duì)任意 ，我們有0????xfBn?????knknk xxff ???????????????10?????????????xnkff knk???????+ ．?????????xnkxff ?knkx???????1由于 在 處連續(xù)，對(duì)任給 ，存在 ，使得??xf 0??0?西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）5當(dāng) 時(shí)， ，???xnk???????????xfnkf故第一個(gè)和式 ????????????xnkxff ?knkx???????1 ．??knkxnk??????????????knknkx?????????0??又由 在 上連續(xù)，所以存在 ，使得??xf??1,0M?． ????xfnkfxfnkf ????????????????故由引理 ，第二個(gè)和 ????????????xnkxff ?knkx???????1．???????????xnkknkM124?M?因此，對(duì)任何 ，先取 ，使得0??0當(dāng) 時(shí)，???xnk???????????xfnkf然后固定 ，再取 充分大，就有 ．證畢． ? 2fBn注意到我們?cè)诙ɡ淼淖C明中，對(duì)第一個(gè)和只用到 在 處連續(xù)，對(duì)第二個(gè)和??xf只用到 在 上有界．因此有??xf??1,0Bernstein 定理 ： 設(shè) 在 上有界，則 在任何 的連續(xù)??xf??1,0fBn???lim??xf點(diǎn) 成立．如果 ，則極限在 上一致成立．??,?x,C???,注 (1) 若有界函數(shù) 在點(diǎn) 處存在有限的二階導(dǎo)數(shù) ，??xf ??xf?西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）6則 ，其中 ．??????nxnfxfBn ??????12?????n0 (2) 若 在 上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù) ，則 一致收斂于 ．f??,0xf?xBn???xf?(3) 設(shè) ，那么 在 上一致地成立．??1,Cx?????ppn???lim??1,0(4) 若 ， ，那么， ， ．??0?fp??,???fpn?x, (5) 若 在 上是非減的，那么 在 上也是非減的．xf1, fBn??1,0 (6) 若 在 上是凸的，那么 在 上也是凸的．??f??,0??fn,由以上的推論可知，一個(gè)連續(xù)函數(shù)的 Bernstein 多項(xiàng)式逼近與被逼近函數(shù)的極值和高階導(dǎo)數(shù)有關(guān)，并且單調(diào)的和凸的函數(shù)分別產(chǎn)生單調(diào)的和凸的逼近．2．1．2 閉區(qū)間 上的 weierstrass 逼近定理??ba, 設(shè) ，則存在多項(xiàng)式 ，使得??Cxf?nnPxp?)(． （22）0mali?????fbxn證明： 令 ，則有 ．??yx??????yabyf???因?yàn)?，所以 是定義在 上的連續(xù)函數(shù)，aby????1,0于是由 Weierstrass 逼近定理知存在多項(xiàng)式 ，使得對(duì)于一切 ，??knycQ??0 ??1,0?y有．????????????nkycabyfQy0也就是 ．證畢．??xxcfnkk,0??????????西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）72．2 Weierstrass 逼近定理的第二種證明首先引入切比雪夫多項(xiàng)式(Chebyshev’s polynomials)的一個(gè)多項(xiàng)式核．引理 恒等式 cos 為真，???,21,coscos2101 ???????nnknk???其中 為某些常數(shù)．????n10,???推論 當(dāng) 時(shí)，恒等式??,0?x成立．?????,21,2arcos10?????nxnknk?定義 稱(chēng)多項(xiàng)式 為 次切比雪夫多項(xiàng)式．Tnarcos設(shè) 是 次切比雪夫多項(xiàng)式，對(duì)任意 ，在 ???xxTnarcos12cos12??? 12?Nn?上令??,?，其中 ． （23 ）????21????????xTxKnn? ??dxTnn21???????????如上定義的 在定理證明中將起到多項(xiàng)式核的作用．它具有下列性質(zhì):n性質(zhì) 1 是 次多項(xiàng)式，且是偶數(shù)．??xKn4性質(zhì) 2 由定義顯然有下面的恒等式 ．??11???dxKn性質(zhì) 3 對(duì)于 何 ，及 都有 ．??1,0??N??n1?證明：由第一種證明可知，我們只需證明 的情況即可．首先將??,??ba連續(xù)開(kāi)拓到 上．??xf??2,?例如，我們令 顯然， 在 上一致連續(xù)