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【畢業(yè)設(shè)計(jì)】區(qū)間上連續(xù)函數(shù)用多項(xiàng)式逼近的性態(tài)-文庫(kù)吧資料

2025-01-24 15:05本頁(yè)面
  

【正文】 ???; ; ??0,1x?p?3.2.4 加權(quán)的 Kantorovich 算子 在這些 Kantorovich 算子逼近性質(zhì)的基礎(chǔ)上,我們可以對(duì) Kantorovich 算子進(jìn)行推廣,從而得到加權(quán)的 Kantorovich 算子.函數(shù) 的積分 可以看成 在 上的平均值,而在某些情形下,??ft??10ftd???ft??0,1考慮 f 的不同的平均值也是很重要的.例如考慮 ,這也是 f 的一種平均,??203ftd?但此時(shí)在 中接近于 1 的點(diǎn)與接近于 0 的點(diǎn)上,對(duì) f 求平均時(shí)的分量是不同的??,(3 為正規(guī)化常數(shù)) .這種“偏重”的平均一般用一個(gè)“權(quán)”函數(shù) ??:,+[)???來(lái)描述,即 f 在 上的加權(quán) 平均為 .由此,定義加權(quán)的??0,1??10fxd??Kantorovich 算子為: , , (314)??????101。 knnknkKfxftd????????????那么對(duì)于任意給定的 ,總可以找到一個(gè)充分大的 ,使得當(dāng) 時(shí),恒??Nn?西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)22有, 成立.??。nnBffx?? ???西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)20由于條件(37) ,由上式可得對(duì) , 成立.由此可知??0,1x???0xf?????fx?在 上是非負(fù)的,因此 f 是凸函數(shù). 證畢.??0,13.2 Kantorovich 算子3.2.1 Kantorovich 算子的定義 在逼近問(wèn)題中,對(duì)于不同的目標(biāo)函數(shù),采用的逼近算子也有所不同,Kantorovich 算子是 Bernstein 算子的一種推廣. 在討論函數(shù)逼近問(wèn)題時(shí),所逼近的目標(biāo)函數(shù)往往僅為 Lebesgue 可積的.這時(shí)通常采用的是 Kantorovich 算子. 設(shè) , ,Kantorovich 算子定義為:??0,1fL?,x, , (312)????????10。nnBfxfx????1 120n ini ifBx?? ???????????觀(guān)察上式可以發(fā)現(xiàn),如果在它的右邊用 來(lái)代替 ,那么除了一個(gè)數(shù)量因子1ini之外便是 的 次 Bernstein 多項(xiàng)式.這里我們指出,在 n 無(wú)限增??1xfx??1n?大至無(wú)窮的過(guò)程中,這種代替對(duì)于極限函數(shù)是沒(méi)有影響的,事實(shí)上,由于對(duì) 都成立,由 在 上的一致連續(xù)性,存在:1in????0,1in???f???0,1使得,對(duì)任何 ,則有N??N? , (311)??1iiffn?????????????其中 為任意給定的正數(shù).因此,當(dāng) 時(shí)? N?????1 101n ii ni iffBx?? ?????????????????????????1 10n ii ni iff? ?????????????????.????11100nni ini iBxx????????將(310 )改寫(xiě)為 ????211。nBfx???0,1x? Bernstein 多項(xiàng)式序列的單調(diào)下降性蘊(yùn)含著其被逼近函數(shù) f 的凸性. 定理 3.3 凸性逆定理(L.Kosmak)設(shè) f: 有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)并且??0,1R? (37)????1。nnff? (36)1iiiifffn???????????????????對(duì) 成立.因?yàn)?f 是凸函數(shù),在子區(qū)間 中, ,曲0,1,in??? ,in???????1,2in??線(xiàn)應(yīng)不在由 與 兩點(diǎn)所確定的直線(xiàn)段的上方.但??yfx?1,iifn???????,ifn??????是(36 )表明曲線(xiàn)上的點(diǎn) 恰在這一段直線(xiàn)上,所以曲線(xiàn)必定與,1iif???????這一段直線(xiàn)重合.4.對(duì)于任何固定的 , 由已經(jīng)證明的第二個(gè)結(jié)論可知:任何 則n??m??, . ????。nnBfxfx?? ??1 101n iniiiifffBxnn? ?????????????????? ??????? ??(35)由于 f 在 上凸,則有??0,1,iiiffnn???????????????????11iiniif fn?????????????由(35 )可得西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)17, . ????1。nBfx凸函數(shù); 2.由升階公式得 ????0。nBfx???0,1xn?證明: 1.由 f 的凸性可知 210iiifffnn??????????????????對(duì) 成立,由此導(dǎo)出 對(duì) 成立,故 是0,12i?????2。nnfxf????,1?n?西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)163. 如果 f 在 上連續(xù),那么由 , 可以導(dǎo)出 f 是子??0,1????1。 0n in nidBfxffBx?????????????????????可得結(jié)論,證畢. 定理 3.2 設(shè) f 是 上的凸函數(shù),于是??,11. 對(duì)于 , 在 上是凸的;n????。0nf???,1?nB算子.定理 3.1 如果 f 是 上的上升(下降)函數(shù),那么 也是 上的??0, ??。nnBfx??n上的函數(shù) f 與 g 以及任何實(shí)數(shù) 與 ,我們有??0,1?? .??????。00,。0,1nBf?}西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)15這就是說(shuō),在區(qū)間 的兩端, 插值于被逼近函數(shù) f.由端點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì),??0,1??。nBfxf???對(duì) 一致地成立.??0,1x?Bernstein 多項(xiàng)式一直是函數(shù)逼近論中的重要工具和研究對(duì)象.我們討論連續(xù)函數(shù) f.由 Bernstein 逼近定理.當(dāng) n 充分大時(shí), 是 f 的一個(gè)很好的逼近,f 稱(chēng)??。1knnknkkKfxxftd????????????設(shè) .對(duì)于任意的 ,定義多項(xiàng)式??:0,1fR?n?? (31)????0。 !knxnknxSfef????BaskakoV 算子 : ??01。()(0顯見(jiàn) .nPfB 引理 下列恒等式成立: (1) ,??10?????????knknkx (2) ,00?????????knknkx西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)4 (3) .??????xnxknxknk ????????????1120引理 對(duì)任意給定的 及 ,有0???,??241?nxknkxk?????????其中求和號(hào)表示對(duì)固定的 滿(mǎn)足不等式 的 求和.??xk該引理的意義在于當(dāng) 很大時(shí),在和式 中,起主要作用的只是滿(mǎn)n??01nnkkk?????????足條件 的那些 值所對(duì)應(yīng)的項(xiàng)的和,而其余的項(xiàng)對(duì)和的值無(wú)多大影響.???xnkk 證明: 我們從(1)知 ,??10?????????knknkx因此兩邊同時(shí)乘以 有??f.xf???knknkxf????????10對(duì)任意 ,我們有0????xfBn?????knknk xxff ???????????????10?????????????xnkff knk???????+ .?????????xnkxff ?knkx???????1由于 在 處連續(xù),對(duì)任給 ,存在 ,使得??xf 0??0?西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)5當(dāng) 時(shí), ,???xnk???????????xfnkf故第一個(gè)和式 ????????????xnkxff ?knkx???????1 .??knkxnk??????????????knknkx?????????0??又由 在 上連續(xù),所以存在 ,使得??xf??1,0M?. ????xfnkfxfnkf ????????????????故由引理 ,第二個(gè)和 ????????????xnkxff ?knkx???????1.???????????xnkknkM124?M?因此,對(duì)任何 ,先取 ,使得0??0當(dāng) 時(shí),???xnk???????????xfnkf然后固定 ,再取 充分大,就有 .證畢. ? 2fBn注意到我們?cè)诙ɡ淼淖C明中,對(duì)第一個(gè)和只用到 在 處連續(xù),對(duì)第二個(gè)和??xf只用到 在 上有界.因此有??xf??1,0Bernstein 定理 : 設(shè) 在 上有界,則 在任何 的連續(xù)??xf??1,0fBn???lim??xf點(diǎn) 成立.如果 ,則極限在 上一致成立.??,?x,C???,注 (1) 若有界函數(shù) 在點(diǎn) 處存在有限的二階導(dǎo)數(shù) ,??xf ??xf?西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)6則 ,其中 .??????nxnfxfBn ??????12?????n0 (2) 若 在 上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù) ,則 一致收斂于 .f??,0xf?xBn???xf?(3) 設(shè) ,那么 在 上一致地成立.??1,Cx?????ppn???lim??1,0(4) 若 , ,那么, , .??0?fp??,???fpn?x, (5) 若 在 上是非減的,那么 在 上也是非減的.xf1, fBn??1,0 (6) 若 在 上是凸的,那么 在 上也是凸的.??f??,0??fn,由以上的推論可知,一個(gè)連續(xù)函數(shù)的 Bernstein 多項(xiàng)式逼近與被逼近函數(shù)的極值和高階導(dǎo)數(shù)有關(guān),并且單調(diào)的和凸的函數(shù)分別產(chǎn)生單調(diào)的和凸的逼近.2.1.2 閉區(qū)間 上的 weierstrass 逼近定理??ba, 設(shè) ,則存在多項(xiàng)式 ,使得??Cxf?nnPxp?)(. (22)0mali?????fbxn證明: 令 ,則有 .??yx??????yabyf???因?yàn)?,所以 是定義在 上的連續(xù)函數(shù),aby????1,0于是由 Weierstrass 逼近定理知存在多項(xiàng)式 ,使得對(duì)于一切 ,??knycQ??0 ??1,0?y有.????????????nkycabyfQy0也就是 .證畢.??xxcfnkk,0??????????西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)72.2 Weierstrass 逼近定理的第二種證明首先引入切比雪夫多項(xiàng)式(Chebyshev’s polynomials)的一個(gè)多項(xiàng)式核.引理 恒等式 cos 為真,???,21,coscos2101 ???????nnknk???其中 為某些常數(shù).????n10,???推論 當(dāng) 時(shí),恒等式??,0?x成立.?????,21,2arcos10?????nxnknk?定義 稱(chēng)多項(xiàng)式 為 次切比雪夫多項(xiàng)式.Tnarcos設(shè) 是 次切比雪夫多項(xiàng)式,對(duì)任意 ,在 ???xxTnarcos12cos12??? 12?Nn?上令??,?,其中 . (23 )????21????????xTxKnn? ??dxTnn21???????????如上定義的 在定理證明中將起到多項(xiàng)式核的作用.它具有下列性質(zhì):n性質(zhì) 1 是 次多項(xiàng)式,且是偶數(shù).??xKn4性質(zhì) 2 由定義顯然有下面的恒等式 .??11???dxKn性質(zhì) 3 對(duì)于 何 ,及 都有 .??1,0??N??n1?證明:由第一種證明可知,我們只需證明 的情況即可.首先將??,??ba連續(xù)開(kāi)拓到 上.??xf??2,?例如,我們令 顯然, 在 上一致連續(xù)
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