多項式的整除(編輯修改稿)
2024-09-11 21:24 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ， t),那么 ?gi(x) ?F[x],(i=1,2,…… ， t),有 h(x)|(f1(x)g1(x) + f2(x)g2(x) +… + fi(x)gi(x) ) 5。 每一個多項式 f(x)都能被 cf(x)整除，其中0 ? c ?F. 證明：由 f(x)= (cf(x)),可得。 c1注： 1。每一個多項式 f(x)都能整除 cf(x),其中 c ?F. 2。 g(x)|f(x) ?g(x)|cf(x). (c ?F) g(x)|f(x) ?cg(x)|f(x). (0 ? c ?F) 即： f(x)與 cf(x) (c ?F)有相同的因式。 f(x)與 cf(x) (0 ? c ?F)有相同的倍式。 6。若 f(x)|g(x),g(x)|f(x),那么 f(x)=cg(x),其中 0 ?c ? F. 證明：由 f(x)|g(x) ? ? ?(x) ?F[x],使 g(x)=f(x) ?(x) …… （ 1） 由 g(x)|f(x) ? ? ?(x) ?F[x],使 f(x)=g(x) ? (x) …… （ 2） 由（ 1），（ 2）得： f(x)=f(x) ?(x) ?(x) 若 f(x)=0,則由（ 1）知 g(x)=0,從而 f(x)=g(x). 若 f(x)=0,則由（ 1）知 ?(x) ?(x)=1， 于是， ??（ ?(x) ?(x)） =0，從而 ??（ ?(x)） =0， ??（ ? (x)） =0， 令 ? (x)=c,(0 ?c ?F) 則有： f(x)=cg(x). 說明：若 f(x)與 g(x)均有首項系數(shù)為 1的多項式，則有 c=1,f(x)=g(x).從而可用此性質(zhì)判定兩首項系數(shù)為 1的多項式是否相等。 二 帶余除法定理 定理 f(x)和 g(x)是 F[x]的任意兩個多項式，并且 g(x) ?0,那么在 F[x]中可以找到多項式 g(x)和 r(x),使 f(x)=g(x)q(x)+r(x) …… （ *） 這里或者 r(x)=0,或者 ??(r(x)) ??(g(x)). 滿足以上條件的多項式 q(x)和 r(x)只有一對，
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