函數(shù)的聯(lián)系性連續(xù)函數(shù)的概念(已修改)
2025-08-21 20:30 本頁面
【正文】 返回 后頁 前頁 167。 1 連續(xù)函數(shù)的概念 一、函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性 三 、 區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) 二 、 間斷點(diǎn)的分類 返回返回 后頁 前頁 定義 1 0( ) ,f x x設(shè) 函 數(shù) 在 點(diǎn) 的 某 鄰 域 內(nèi) 有 定 義 且),()(lim 00xfxfxx ?? )1(由定義 1知 ， 我們是通過函數(shù)的極限來定義連續(xù) 00( ) ( ) .f x x f x僅存在, 而且其值恰為 在點(diǎn) 的函數(shù)值一、函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性 性的，換句話說連續(xù)就是指 0()f x x在點(diǎn) 的極限不0( ) .f x x則 稱 在 點(diǎn) 連 續(xù)返回 后頁 前頁 ).0(0s g nlim 0 fxxx ???xxy s gn?例如： 處連續(xù)，在 0s gn)( ?? xxxxf 這是因?yàn)? xyO返回 后頁 前頁 0,x ?在 處 不 連 續(xù) 這 是 因 為).0(0)(l i m 0 fxfx ???又如：函數(shù) ,0( ) ( 0 ),0xxf x aax????? ??axyO返回 后頁 前頁 極限 xx s g nlim0?.不存在由極限的定義 ,定義 1可以敘述為 :對(duì)于任意正數(shù) e , )2(.)()( 0 e?? xfxf( ) s g n 0 ,f x x x??函 數(shù) 在 點(diǎn) 處 不 連 續(xù)這是因?yàn)? 00( 2 ) , 0x x x x ?? ? ? ?注 意 到 式 在 時(shí) 恒 成 立 因 此存在 ? 0, 00 | | ,xx ?? ? ?當(dāng) 時(shí) 有這樣就得到函數(shù) f (x) 在點(diǎn) x0 可改寫為 0xx ??? ，.e??連續(xù)的 定義返回 后頁 前頁 ,)()( 0 e?? xfxf0( ) .f x x則 稱 在 點(diǎn) 連 續(xù)連續(xù)性的另外一種表達(dá)形式 . 定義 2 0( ) .f x x設(shè) 在 點(diǎn) 的 某 個(gè) 鄰 域 內(nèi) 有 定 義如果 0 ,x為 了 更 好 地 刻 劃 函 數(shù) 在 點(diǎn) 的 連 續(xù) 性 下 面 引 出,0xxx ???設(shè)).()()()( 0000 xfxxfxfxfyyy ?????????對(duì) 任意的 存在 當(dāng) 時(shí) 0,e ? 0,? ? 0 ,xx ???返回 后頁 前頁 0 :x則 函 數(shù) 在 點(diǎn) 連 續(xù) 的 充 要 條 件 是)3(.0l i m 0 ???? yx應(yīng)的函數(shù) (在 y0 處 )的增量 0( ) ,x x y??這 里 我 們 稱 是 自 變 量 在 處 的 增 量 為 相返回 后頁 前頁 為狄利克雷函數(shù) . 證 所以因?yàn)?,0lim,1)(,0)0(0 ??? ? xxDf x).0(0)(lim)(lim 00 fxxDxf xx ??? ??( ) 0 .f x x ?故 在 處 連 續(xù)注意 :上述極限式絕不能寫成 .0)(l i ml i m)(l i m 000 ?? ??? xDxxxD xxx例 1 ( ) ( ) 0 ,f x x D x x??證 明 在 處 連 續(xù) 其 中()Dx返回 后頁 前頁 由上面的定義和例題應(yīng)該可以看出 : 函數(shù)在點(diǎn) x0 類似于左、右極限，下面引進(jìn)左、右連續(xù)的概念 . 要求這個(gè)極限值只能是函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值 . 極限存在是函數(shù)連續(xù)的一個(gè)必要條件 )， 而且還 x0 連續(xù) ， 那么它在點(diǎn) x0 必須要有極限 (這就是說 , 有極限與在點(diǎn) x0 連續(xù)是有區(qū)別的 . 首先 f (x) 在點(diǎn) 返回 后頁 前頁 定義 3 00( ) ( )f x x U x?設(shè) 函 數(shù) 在 點(diǎn) 的 某 個(gè) 右 鄰 域) ) ,()(lim()()(lim 0000xfxfxfxf xxxx ?? ?? ??0( ) ( ) .f x x則 稱 在 點(diǎn) 右 左 連 續(xù)很明顯 , 由左、右極限與極限的關(guān)系以及連續(xù)函數(shù) 0 既是左連續(xù)，又是右連續(xù) . 點(diǎn) x 定理 0()f x x函 數(shù) 在 點(diǎn) 連 續(xù) 的 充 要 條 件 是 ：f 在 ))(( 0xU ?左鄰域 有定義，若 的定義可得： 返回 后頁 前頁 例 2 討論函數(shù) ,0(),0xxfxx a x???? ??? ?在 處 的 連 續(xù) 性解 因?yàn)? ?所 以 在 處 左 連 續(xù)又因?yàn)?)(lim)(lim 00 aaxxf xx ??? ?? ??),0(0l i m)(l i m 00 fxxf xx ??? ?? ?? 0??? aaxyxyoxy?0??? aaxy0??? aaxy點(diǎn)擊上圖動(dòng)畫演示 返回 后頁 前頁 0 , 0a f x??當(dāng) 時(shí) 在 處 連 續(xù) ；綜上所述 , 0 , 0a f x??當(dāng) 時(shí) 在 處 不 是 右 連 續(xù) 的 ；所以 , 0a ?當(dāng) 時(shí) ， ?在 處 是 右 連 續(xù) 的 ?在 處 不 連 續(xù)0a ?當(dāng) 時(shí) ，返回 后頁 前頁 二、間斷點(diǎn)的分類 定義 4 00( ) ( ( ) )f x U x設(shè) 函 數(shù) 在 的 某 空 心 鄰 域 內(nèi) 有定義 .若 f 在點(diǎn) x0 無定義 ,或者在點(diǎn) x0有定義但卻 由此 ,根據(jù)函數(shù)極限與連續(xù)之間的聯(lián)系 , 如果 f 在 點(diǎn) x0 不連續(xù) , 則必出現(xiàn)下面兩種情況之一 : 或不連續(xù)點(diǎn) . 在該點(diǎn)不連續(xù) ,那么稱點(diǎn) x0 為函數(shù)的一個(gè)間斷點(diǎn) 返回 后頁 前頁 00( i ) 。f x x在 點(diǎn) 無 定 義 或 者 在 點(diǎn) 的 極 限 不 存 在等于 f (x0). 0( ii ) ,fx在 點(diǎn) 有 定 義 且 極 限 存 在 但 極 限 值 卻 不根據(jù)上面的分析 , 我們對(duì)間斷點(diǎn)進(jìn)行如下分類： 1. 可去間斷點(diǎn) : 若 0li m ( ) ,xx f x A? ? 存 在0fx而 在 點(diǎn)0, ( ) ,f x A?無定義 或者有定義但 0xf則 稱 是 的一個(gè)可去間斷點(diǎn) . 返回 后頁 前頁 2. 跳 躍 間 斷 點(diǎn) ： 若,)(l i m0Axfxx ???0l i m ( )xx f x B?? ?0xf則稱點(diǎn) 為 的一個(gè)跳躍間斷,AB?都存在 但注 x0 是 f 的 跳躍間斷點(diǎn)與函數(shù) f 在點(diǎn) x0 是 否有定 點(diǎn) . 3. 第二類間斷點(diǎn) : 若 f 在點(diǎn) x0 的左、右極限至少 可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為 第一類間斷 點(diǎn) . 義 無關(guān) . 0 .xf則 稱 是 的 一 個(gè) 第 二 類 間 斷 點(diǎn)有一個(gè)不存在 , 返回 后頁 前頁 證 因?yàn)? .一個(gè)可去間斷點(diǎn)例 3 處不連續(xù)，在 0?x??
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