函數(shù)的聯(lián)系性連續(xù)函數(shù)的概念-資料下載頁
2025-08-01 20:30本頁面
【導(dǎo)讀】由極限的定義,定義1可以敘述為:對于任意正數(shù)e,函數(shù)在點(diǎn)處不連續(xù)這是因?yàn)?。注意到式在時(shí)恒成立因此。這樣就得到函數(shù)f在點(diǎn)x0可改寫為0xx???連續(xù)性的另外一種表達(dá)形式.對任意的存在當(dāng)時(shí)0,e?這里我們稱是自變量在處的增量為相。為狄利克雷函數(shù).要求這個極限值只能是函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值.無定義或者有定義但0xf則稱是的?？扇ラg斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn).0處右連續(xù)而不左連續(xù),從而不。解因?yàn)橛蓺w結(jié)原理可知，都是R上的連續(xù)函數(shù)；而函數(shù)是區(qū)間
【正文】 為定義在區(qū)間 I上的函數(shù) , 如果對于 ()fx則稱 在區(qū)間 I上一致連續(xù) . ()fx的概念 . 返回 后頁 前頁 首先來看兩個例題 . 例 8 ( ) [ 1 , ) .f x x? ? ?證明 在 上一致連續(xù)證 有因?yàn)閷θ我獾?,),1[, 21 ???xx|,||||| 12211221 xxxxxxxx ??????0 , ,e ? e??所以對任意的正數(shù) 只要取 當(dāng)12||xx ??? 時(shí) ，1 2 2 1| | | | ,x x x x e? ? ? ?[ 1 ) .x ??所 以 在 ， 上 一 致 連 續(xù)返回 后頁 前頁 證 首先我們根據(jù)一致連續(xù)的定義來敘述 f (x) 在區(qū) 例 9 1 ( 0 , 1 ) .y x?證明 在 內(nèi)不一致連續(xù)1 2 1 2, , | | ,x x I x x ?? ? ?雖 然但仍有 .|)()(| 021 e?? xfxf1 , ( 0 , 1 )yxx??現(xiàn)在來驗(yàn)證函數(shù) 確實(shí)不是一致 連續(xù)的 . 0 0 , ( )e ? ??存在 對任意正數(shù) 無論 多么小，總有 間 I上不一致連續(xù)的定義： 返回 后頁 前頁 ),21(1 ?? ??e ，對任意正數(shù)取1 2 1 2, , | | ,2x x x x???? ? ? ?令 雖.111112??? ?xx但1 ( 0 , 1 ) .yx?這 就 說 明 在 內(nèi) 不 一 致 連 續(xù)1x2x 1 xyO試問 , 函數(shù) 在區(qū)間 I上一致連續(xù)與 在區(qū) ()fx()fx間 I上連續(xù)的區(qū)別究竟在哪里？ 返回 后頁 前頁 僅與 ? e 有關(guān) . 01 ( 0 , 1 ) ,yxx??比 如 在 連 續(xù) 對于任意正數(shù) e , 所得 [ 1 )yx? ? ?已 證 得 在 ， 上 一 致 連 續(xù) . 這 是 由 于答 :(1) 首先 , 對于 ,0?e 如果 在區(qū)間 I上連續(xù)， ()fx0x 有 關(guān) ,那么 , 不僅與 e 有關(guān) , 而且還與所討論的點(diǎn) ?).,( 0 e?? x?即 而 在區(qū)間 I上一致 連續(xù) . 那么 ()fx,2,2mi n 020 ??????? xx e? 0xe ,它 與 都 有在例 8中 顯然 關(guān) . 返回 后頁 前頁 0,.xe ? ?? 與 無關(guān)),( 0xe?? ?? 有時(shí)當(dāng) ,|| 0 ??? xx.|)()(| 0 e?? xfxf 過程中有一個正下界 (當(dāng)然 00( , )xx?e若 在 的 變 化(2) 函數(shù) f (x) 在每一點(diǎn) 連續(xù) , Ix ?0 ,0??e下述定理是連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的又一整體性質(zhì) . 區(qū)間 I上就一致連續(xù)了 . 這個下界只與 e 有關(guān) , 而與 x0無關(guān) ), 則此時(shí) f (x)在 返回 后頁 前頁 上連續(xù) , 則 ],[ baf 在],[ ba 上一致連續(xù) . 這個定理告訴我們 : 定義在閉區(qū)間上的函數(shù) , 連 例 10 設(shè)區(qū)間 1Ι 的右端點(diǎn)為 1Ιc? , 區(qū)間 2Ι 的左端 定理 （一致連續(xù)性定理） 若函數(shù) f 在閉區(qū)間 上一致連續(xù) , )( xf則 在區(qū)間 21 ΙΙ ? 上也一致連續(xù) . ., 2Ιcc ?并且 證明：若 )(xf 分別在 21 , ΙΙ點(diǎn)也為 續(xù)和一致連續(xù)是等價(jià)的 . 返回 后頁 前頁 連續(xù)，所以分別存在 使得 ,0,0 21 ?? ??當(dāng) 1 2 1 1 2 1, , | | ,xx Ι xx ?? ? ? 時(shí)12| ( ) ( ) | ,f x f x e??當(dāng) 1 2 2 1 2 2, , | |xx Ι xx ?? ? ? 時(shí) ,12| ( ) ( ) | .f x f x e??,0},m i n { 21 ?? ???取 則對于任意的 , 2121 ΙΙxx ??證 對任意的 ,0?e 因?yàn)? )(xf 在 21 ,ΙΙ 上一致 1 2 1 2 21 . , , .情 形 或xx Ι xx Ι??此時(shí)自然有 12| ( ) ( ) | .f x f x e??有以下兩種情形： 12| | ,xx ???當(dāng) 時(shí)返回 后頁 前頁 1 1 2 22 . , .x Ι x Ι??情形 注意到 1 2 1 2, | | , | | ,c Ι Ι x c x c??? ? ? ? ?1 2 1 2| ( ) ( ) | | ( ) ( ) | | ( ) ( ) |f x f x f x f c f x f c? ? ? ? ?可得 .2 eee ???綜上，證得 )(xf 在區(qū)間 21 ΙΙ ? 上一致連續(xù) . 注 例 10的條件 ”“ 21 ΙΙc ?? 是重要的 . 比如 返回 后頁 前頁 ????????32,021,1)(xxxf在區(qū)間 ]2,1[ 與區(qū)間 ]3,2( 上分別一致連續(xù) , 但在 區(qū)間 [1, 3] 上不連續(xù) , 當(dāng)然也不一致連續(xù) . 返回 后頁 前頁 例 11 設(shè) ),[)( ??axf 在 上連續(xù) , 并且 .)(l i m Axfx ????證明 ),[)( ??axf 在 上一致連續(xù) . 證 因?yàn)? Axfx ???? )(l i m, 所以對任意的正數(shù) ,0?e存在 有時(shí)，當(dāng) XxxaX ?? 21 ,21| ( ) ( ) | .f x f x e??又 ]1,[)( ?Xaxf 在 上連續(xù) , 故由定理 f (x) [ , 1 ]aX ?在 上一致連續(xù) . 因此對上述 e， 存在正數(shù) ,)1( ??? 使對任意 ],1,[, 21 ?? Xaxx返回 后頁 前頁 只要 ??? || 21 xx , 必有 12| ( ) ( ) | .f x f x e??現(xiàn)對任何 1 2 1 2, [ , ) , | | ,x x a x x ?? ? ? ? ?討論如下 . 121 . , [ , 1 ] ,x x a X??情形 自然有12| ( ) ( ) | 。f x f x e??情形 2. 注意到 ,1?? 所以若情形 1 不成立 , 必然有 , 21 XxXx ??返回 后頁 前頁 .),[)(, 上一致連續(xù)在證得綜上 ??axf于是 12| ( ) ( ) | .f x f x e??
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