函數(shù)的聯(lián)系性連續(xù)函數(shù)的概念-文庫(kù)吧
2025-07-07 20:30 本頁(yè)面
【正文】 ????0001)(xxxf試證函數(shù)0 ( )x f x? 是 的所以 并且 是 的一個(gè)可去間斷點(diǎn) . 0x ? ()fx1xyO0l i m ( ) 1 ( 0 ) ,x f x f? ??返回 后頁(yè) 前頁(yè) 00( ) ( ) .A g x x F x?在 時(shí) ， 恒 為 的 一 個(gè) 可 去 間 斷 點(diǎn)那么函數(shù)注 0( ) ,g x x x?對(duì) 于 任 意 函 數(shù) 若 它 在 處 連 續(xù) ，1. 00( ) ,(),g x x xFxA x x???? ??返回 后頁(yè) 前頁(yè) 0()f x x義 在 點(diǎn) 的 值 為),(lim0xfxx ? 那 么 它 就 在 點(diǎn)例 4 討論函數(shù) 1/1, 0,e1()00,x xfxx????? ?? ??在 x ? 0 處 是否連續(xù)？若不連續(xù)，則是什么類型的 x0是 的可去間斷點(diǎn) ,那么只要重新定 ()fx x0 連續(xù) . 間斷點(diǎn)？ 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 10011li m ( ) li m li m 0 ( 0 ) ,e1e1 yyxx xf x f?? ? ? ???? ? ? ???所以 f (x) 在 x ? 0 處右連續(xù)而不 左連續(xù) ,從而不 10011li m ( ) li m li m 1 ( 0 ) ,e1e1 yyxx xf x f?? ? ? ???? ? ? ???解 因?yàn)? 斷點(diǎn)是跳躍間斷點(diǎn) . 連續(xù) . 既然它的左 、 右極限都存在 ， 那么這個(gè)間 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 例 5 10 ( ) sinx f x x??試 問(wèn) 是 函 數(shù) 的 哪 一 類 間 斷解 因?yàn)橛蓺w結(jié)原理可知， 0011lim sin lim sinxxxx????與均不存在， 0 ( ) .x f x?所以 是 的一個(gè)第二類間斷點(diǎn)點(diǎn)？ 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 三、區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) 若函數(shù) f 在區(qū)間 I上的每一點(diǎn)都連續(xù) ,則稱 f 為 I )(, 為正整數(shù)nxycy n?? xy sin?例如 , 以及 21 xy ??都是 R上的連續(xù)函數(shù)；而函數(shù) 是區(qū)間 1,1 ??? xx[1,1]上的連續(xù)函數(shù) ,在 處的連續(xù)分 別指右連續(xù)和左連續(xù) . 數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)是指相應(yīng)的左連續(xù)或右連續(xù) . 上的連續(xù)函數(shù) .對(duì)于閉區(qū)間或半閉區(qū)間的端點(diǎn) ,函 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 如果函數(shù) f 在 [a,b]上的不連續(xù)點(diǎn)都是第一類的 , : ( ) 0 .x D x x ?試 證 僅 在 處 連 續(xù)復(fù)習(xí)思考題 能要添加或改變某些分段點(diǎn)處的值 ). 是由若干個(gè)小區(qū)間上的連續(xù)曲線合并而成 (當(dāng)然可 一個(gè)按段連續(xù)函數(shù) .從幾何上看 ,按段連續(xù)曲線就 并且不連續(xù)點(diǎn)只有有限個(gè) ,那么稱 f 是 [a,b]上的 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 167。 2 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 在本節(jié)中 ,我們將介紹連續(xù)函數(shù)的局 一、連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì) 四、一致連續(xù)性 三、反函數(shù)的連續(xù)性 二、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 這些性質(zhì)是具有分析修養(yǎng)的重要標(biāo)志 . 部性質(zhì)與整體性質(zhì) .熟練地掌握和運(yùn)用 返回返回 后頁(yè) 前頁(yè) 一、連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì) 0xf 在點(diǎn)若函數(shù)所謂連續(xù)函數(shù)局部性質(zhì)就是指 : 連續(xù) (左連續(xù)或右連續(xù) ),則可推知 f 在點(diǎn) x0 的某 號(hào)性、四則運(yùn)算的保連續(xù)性等性質(zhì) . 個(gè)局部鄰域 (左鄰域或右鄰域 )內(nèi)具有有界性、保 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 0| ( ) | | ( ) | 1 .f x f x??0| | ,xx ???當(dāng) 時(shí) 0| ( ) ( ) | 1 ,f x f x??故 | f (x) | 的一個(gè)明確的上界 . 0fx因?yàn)?在 連續(xù)， 存在所以對(duì) ,1?e證 ,0??1,e ?取 這 個(gè) 特 定 的 值注意 :我們?cè)谧C明有界性時(shí) , 0,e ?“ 對(duì) 于 任 意 的 ” 這 樣 可 求 得而不是用術(shù)語(yǔ) 0( ) .f U x在 某 鄰 域 上 有 界連續(xù)，在點(diǎn)若函數(shù) 0xf定理 （局部有界性） 則 返回 后頁(yè) 前頁(yè) ),0)(()( ???? rxfrxf 或00( , ) ,x x x??? ? ?當(dāng) 時(shí) 有,0??存在0 0 0| ( ) ( ) | ( ) ,f x f x f x re? ? ? ?000 ( ) ( ( ) 0 ) ,r f x f x r r? ? ? ? ?或 的 正 數(shù) 存 在0 ,fx若 函 數(shù) 在 點(diǎn) 連 續(xù) 且定理 （ 局部保號(hào)性） ,)0)((0)( 00 ?? xfxf 或則對(duì)任意一個(gè)滿足 ? ?0 0 0,f x f x re ??因?yàn)?在 連續(xù) 所以對(duì)正數(shù)證 000 , ( , ) ,x x x? ? ?? ? ? ?當(dāng)時(shí)返回 后頁(yè) 前頁(yè) ( 2 ) ( ) ( ) ,f x g x?( 1 ) ( ) ( ) ,f x g x?.2 )( 0xfr ?注 在具體應(yīng)用保號(hào)性時(shí) ,我們經(jīng)常取 .0)( ?? rxf 于是證得 ( ) , ( )f x g x若函數(shù)定理 （連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算） 則函數(shù)連續(xù)均在點(diǎn) ,0x0( 4 ) ( ) / ( ) , ( ) 0f x g x g x ?( 3 ) ( ) ( ) ,f x g x?0 .x在點(diǎn) 也是連續(xù)的返回 后頁(yè) 前頁(yè) 此定理的證明可以直接從函數(shù)極限的四則運(yùn)算得 01() nnP x a a x a x? ? ? ?也是連續(xù)函數(shù) . 我們知道 ,常函數(shù) 與線性函數(shù) 都是 R 上 y = c y = x到 , 具體過(guò)程請(qǐng)讀者自行給出 . 的連續(xù)函數(shù) , 故由四則運(yùn)算性質(zhì) , 易知多項(xiàng)式函數(shù) 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 0101()()nnmma a x a xPxQ x b b x b x? ? ??? ? ?同理 ,有理函數(shù) (分母不為零 )同樣是連續(xù)函數(shù) . 下面這個(gè)定理刻劃了連續(xù)這個(gè)性質(zhì)在復(fù)合運(yùn)算下 00, ( ) .u f x?連 續(xù) 0( ( ) ) .g f x x則復(fù)合函數(shù) 在點(diǎn) 連續(xù)0()g u u在 點(diǎn) 0()f x x若 函 數(shù) 在 點(diǎn) 連 續(xù) ，定理 是不變的 . 返回 后頁(yè) 前頁(yè) ,01 ??存在 01| | ,uu ???當(dāng) 時(shí) 有0| ( ) ( ) | ,g u g u e??證 ,0?e因此對(duì)于任意的 0( )
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