【正文】 近程度的相互關(guān)系 ． 多項式問題的研究是一個古老但非常有意義的問題，它在現(xiàn)代數(shù) 學(xué)中占有重要地位 ． 多項式逼近是數(shù)值分析中的最重要的方法之一，因為多項式便于計算，便于求導(dǎo)數(shù)，求積分 ． 因此多項式逼近在數(shù)學(xué)分析和數(shù)值逼近理論中一直占有十分重要的位置，人們不斷從各個角度研究其逼近的方法和應(yīng)用 ． 隨著數(shù)學(xué)理論研究的深入和計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，由于電子計算機(jī)只能做算術(shù)運算，因此，在計算機(jī)上計算函數(shù)必須用其他簡單的函數(shù)來逼近（例如用多項式來逼近函數(shù)），且用它來代替原來精確的函數(shù)計算 ． 多項式函數(shù)由于其計算上的簡單性 ， 在數(shù)值近似理論以及工程計算方面有著廣泛的應(yīng)用 ． 在實際的應(yīng)用中，經(jīng)常遇到這樣的問題：為解析 式子比較復(fù)雜的函數(shù)尋找一個多項式來近似代替它，并要求其誤差在某種度量下意義下最小 ． 這就是用多項式來逼近函數(shù)問題的研究 ． 在現(xiàn)實生活中，對于某些具體問題，我們可以觀察很多數(shù)據(jù)，用觀察法很難發(fā)現(xiàn)規(guī)律，但利用多項式逼近來研究實際問題的規(guī)律，往往能簡化用來擬合觀測數(shù)據(jù)的復(fù)雜函數(shù)，使得問題簡化，從而多項式逼近問題在數(shù)學(xué)領(lǐng)域和實際生活領(lǐng)域中得到廣泛的應(yīng)用 ． 因此，研究區(qū)間上連續(xù)函數(shù)用多項式逼近的性態(tài)，進(jìn)而對其進(jìn)一步研究有著十分重要的意義 ． 西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 3 第 2章 Weierstrass 逼近定理的證明及應(yīng)用 在一致逼近的理論 中 ， 遇到的第一個問題是 :在預(yù)先給定的精度下 ， 能否用多項式逼近任意給定的連續(xù)函數(shù) ? 1985 年 ， Weierstrass 對這個問題給出了肯定回答 ． Weierstrass 逼近定理是函數(shù)逼近論中的重要定理之一 ， 該定理闡述了在預(yù)先給定的精度下 ， 可以用多項式逼近任意給定的閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) ． Weierstrass 逼近定理 設(shè) ? ? ? ?,f x C a b? ， 則存在多項式 ( ) , n = 1 ,2 ,3 ,nnp x p? ， 使 lim m a x ( ) ( ) 0nn a x b f x p x?? ?? ??． 2． 1 Weierstrass 逼近定理的第一種證明 2． 1． 1 Weierstrass 逼近定理的 Bernstein 證明 對于這個著名的定理 ， 有多種不同的證明方法 ． 下面將給出 Bernstein 的證明 ． 定義 設(shè) ? ? ? ?1,0Cxf ? ， ??xf 的第 ? ?1?nn 個 Bernstein 多項式由下式給出 : knknknn xxknnkfxfBfB ?? ????????????????? ? )1()。()(0． （ 21） 顯見 nn PfB ?)( ． 引理 下列恒等式成立 : (1) ? ? 110 ?????????? ???knknk kxkn ， (2) ? ? ? ? 010 ??????????? ???knknk xxknnxk ， (3) ? ? ? ? ? ?xnxxxknnxk knknk ???????????? ??? 1120． 引理 對任意給定的 0?? 及 10 ??x ， 有 西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 4 ? ? 24 11 ?? nxxkn knkxnk ?????????? ???? ， 其中求和號 表示對固定的 x 滿足不等式 ???xnk的 k 求和 ． 該引理的意義在于當(dāng) n 很大時 ， 在和式 ? ?0 1n nkkkn xxk ???? ?????? 中 ， 起主要作用的只是滿足條件 ???xnk的那些 k 值所對應(yīng)的項的和 ， 而其余的項對和的值無多大影響 ． 證 明 ： 我們從 (1)知 ? ? 110 ?????????? ???knknk kxkn ， 因此兩邊同時乘以 ??xf 有 ??xf ? ? ? ? ? knknk xxknxf ?? ?????????? 10． 對任意 0?? ， 我們有 ? ? ? ?xffBn ? ? ? ? ? ? knknk xxknxfnkf ?? ????????????????? 10 ? ? ???? ????????xnk xfnkf ? ? knk xkn ?????????? 1 + ? ???? ????????xnk xfnkf ? ? knk xkn ?????????? 1 ． 由于 ??xf 在 x 處連續(xù) ， 對任給 0?? ， 存在 0?? ， 使得 當(dāng) ???xnk時 ， ? ? ????????? xfnkf， 故第一個和式 西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 5 ? ?? ?? ????????xnk xfnkf ? ? knk xkn ?????????? 1 ?? ? ? knkxnk xxkn ??? ?????????? 1? ?? ? ? knknk xxkn ?? ?????????? 10?? ． 又由 ??xf 在 ??1,0 上連續(xù) ， 所以存在 0M? ， 使得 ? ? ? ? Mxfnkfxfnkf ???????????????? ． 故由 引理 ， 第二個和 ? ?? ?? ????????xnk xfnkf ? ? knk xkn ?????????? 1 ? ? ?????????????xnkknk xxnkM 124?nM? ． 因此 ， 對任何 0?? ， 先取 0?? ， 使得 當(dāng) ???xnk時， ? ? ????????? xfnkf 然后固定 ? ， 再取 n 充分大 ， 就有 ? ? ? ? ?2?? xffB n ． 證畢 ． 注意到我們在定理的證明中 ， 對第一個和只用到 ??xf 在 x 處連續(xù) ， 對第二個和只用到 ??xf 在 ??1,0 上有界 ． 因此有 Bernstein 定理 ： 設(shè) ??xf 在 ??1,0 上有界 ， 則 ? ? ? ?xffBnn ???lim在任何 ??xf 的連續(xù)點 ? ?1,0?x 成立 ． 如果 ? ? ? ?1,0Cxf ? ， 則極限在 ??1,0 上一致成立 ． 注 (1) 若有界函數(shù) ??xf 在點 x 處存在有限的二階導(dǎo)數(shù) ??xf? ， 則 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?n nxxn xfxffBn ??????? 12， 其中 ? ? ? ???? nn 0? ． (2) 若 ??xf 在 ??1,0 上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù) ??xf? ， 則 ??xBn? 一致收斂于 ??xf? ． 西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 6 (3) 設(shè) ? ? ? ?1,0Cxf ? ， 那么 ? ?? ? ? ?? ?xffB ppnn ???lim在 ??1,0 上一致地成立 ． (4) 若 ? ?? ? 0?xf p ， ?x ??1,0 ， 那么， ? ?? ? 0?fB pn ， ?x ??1,0 ． (5) 若 ??xf 在 ??1,0 上是非減的 ， 那么 ? ?fBn 在 ??1,0 上也是 非減的 ． (6) 若 ??xf 在 ??1,0 上是凸的 ， 那么 ? ?fBn 在 ??1,0 上也是凸的 ． 由以上的推論可知 ， 一個連續(xù)函數(shù)的 Bernstein 多項式逼近與被逼近函數(shù)的極值和高階導(dǎo)數(shù)有關(guān) ， 并且單調(diào)的和凸的函數(shù)分別產(chǎn)生單調(diào)的和凸的逼近 ． 2． 1． 2 閉區(qū)間 ? ?ba, 上的 weierstrass 逼近定理 設(shè) ? ? ? ?baCxf ,? ， 則存在多項式 nn Pxp ?)( ， 使得 0)()(m a xlim ?????? xpxf nbxan ． （ 22） 證 明 ： 令 ? ?abyax ??? ， 則有 ? ? ? ?? ? ? ?yabyafxf ????? ． 因為 ab axy ??? ， 所以 ??y? 是定義在 ??1,0 上的連續(xù)函數(shù) ， 于是由 Weierstrass 逼近定理知存在多項式 ? ? knk k ycyQ ??? 0， 使得對于一切 ? ?1,0?y ， 有 ? ? ? ? ? ?? ? ?? ?????? ??nk kk ycabyafyQy 0． 也就是 ? ? ? ?baxab axcxfnkkk ,0 ???????? ??? ?? ?． 證畢 ． 2． 2 Weierstrass 逼近定理的第二種證明 首先引入切比雪夫多項式 (Chebyshev’s polynomials)的一個多項式核 ． 引理 恒等式 cos ? ? ?,2,1,c osc os2 101 ??? ???? nn knknknn ???? 為真 ， 西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 7 其中 ? ? ? ?nnn 10 , ??? ? 為某些常數(shù) ． 推論 當(dāng) ? ?1,0?x 時 ， 恒等式 ? ? ? ? ?,2,1,2a rc c osc os 101 ??? ???? nxxxn knk nknn ?成立 ． 定義 稱多項式 ? ? ? ?xnxT n a rc c o sc o s? 為 n 次切比雪夫多項式 ． 設(shè) ? ? ? ?? ?xnxT n a r c c o s12c o s12 ??? 是 12?n 次切比雪夫多項式 ， 對任意 Nn? ， 在 ? ?1,1? 上令 ? ? ? ? 2121 ??????? ?x xTxK nnn ?， 其中 ? ? dxx xT nn211 12?? ? ???????? ． （ 23） 如上定義的 ??xKn 在定理證明中將起到多項式核的作用 ． 它具有下列性質(zhì) : 性質(zhì) 1 ??xKn 是 n4 次多項式 ， 且是偶數(shù) ． 性質(zhì) 2 由定義顯然有下面的恒等式 ? ? 111 ??? dxxKn． 性質(zhì) 3 對于 何 ? ?1,0?? ， 及 Nn? 都有 ? ? ?? ndxxK n 11 ?? ． 證 明 ： 由第一種證明可知 ， 我們只需證明 ? ? ? ?1,1, ??ba 的情況即可 ． 首先將 ??xf 連續(xù)開拓到 ? ?2,2? 上 ． 例如 ， 我們令 ??xf ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ? .,2,11,11,2,11??????????? ?xxxfxff 顯然 ， ??xf 在 ? ?2,2? 上一致連續(xù) ． 對任意 Nn? ， 當(dāng) ?x ? ?1,1? 時 ， 以 nK 為核構(gòu)造函數(shù) ? ? ? ? dtxtKtfxPnn ?????? ?? ?? 331 22． (24) 西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 8 由于 nK 是 n4 次多項式 ， 故 ? ?? ? knknkn xtxtK ????????? ? 403 ?． 所以 ? ? ? ?? ? ? ? knkknk xdtxttf ?? ???22 ， 其中 ??nk? 是常數(shù) ， 故而 ??xPn 是一個 n4 次的多項式 ． 令3xt???， (24)就變?yōu)? ? ? ? ? ? ? ??? dKxfxP nx xn ? ??? ?? 32323 (25) 由性質(zhì) 2， 可得 ? ? ? ? ?? xPxf n ? ? ? ? ? ? ? ??? ???? ?? 323211 3xx nn dKxfdKxf ????? = ? ? ? ?? ? ? ? ????? dKxfxf n?? ??33 3 + ? ? ? ? ???? dKxfn?????? ? ????1331 ? ? ? ? ????? dKxf nxx 3323332????????? ?? ?? ?? ?? ? ? ? ? ??? ??33 3?? ?xfxf ? ? ??dKn+ ? ? ? ? ???? dKxfn?????? ? ????1331 + ? ? ? ? ????? dKxfnxx 3323332????????? ? ?? ?? ?? ． 將上式中