【正文】 pnn B f x f x?? ?． 證明 ： 當(dāng) 0 0x? 時，結(jié)論顯然成立 ． 當(dāng) 0 0x? 時，記 ? ?110ppkkf f xnn?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?， 由于當(dāng) x??? 時， ? ? ? ?0 mf x x? ，于是對于固定的 n ，當(dāng) k 充分大時 ， 有 11ppkfnMkn????????????????????? ， （ M 為常數(shù)） 因此當(dāng) k 充分大時 ， 有 ? ? ? ? ? ?11000!!pk pkppnx nxkkf f xn k n k???? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? 西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 27 由 ? ?00 !m pkpmknxkMnk???? 收斂，于是有 ? ?100 !pkpknxknk???????????? 收斂，于是得到 ? ? ? ? ? ? ? ?01000。 !ppkpnxpnknxkB f x e fnk???????? ????? （ 41） 其中 ??fx是定義在 ? ?0,?? 上函數(shù)， p 為正整 數(shù) ． 證明了，在 ??fx的任一連續(xù)點 0x 處，有 ? ? ? ?00lim 。nK f x f x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?1111 0 1101111p pknnkk nk kk nknk knnn x x f f t f x t dtk dxt dt???? ?? ????? ???? ?? ? ???? ??????????? ??? 西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 24 ? ? ? ? ? ? ? ?? ?11110 0 111p pknnkk nkk nnM n x x f t f x dt dxkm???? ?? ?????? ? ? ??????? ????? 由 定理 3． 4 對于任意給定的 0??? ，總可以找到一個充分大的 N ， 使得當(dāng) nN?時，恒成立 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 110p pnnK f x f x K f x f x d x ?? ? ? ??； ；， ? ?0,1x? ， 1p? 取 Mm???? ，則 ? ? ? ?。nK f x? 如 （ 314） 式，那么對于任意給定的0?? ，總可以找到一個充分大的 N ， 使得當(dāng) nN? 時，恒有 ? ? ? ?。1knk knnkk nn kk nk knf t t d tnK f x x xkt d t?????? ??? ?????????????， ?? 0t? ? ， ? ?0,1t? （ 314） 注 若 ? ?kktC? ? ， ? ?0,1t? ， kC （ 0,1, ,kn? ??? ）為與 t 無關(guān)的常數(shù)，則有? ? ? ?。nK f x f x ???， ? ?0,1x? 成立 ． 然而，只有當(dāng)目標(biāo)函數(shù)僅為 Lebesgue 可積時， Kantorovich 算子的作用才能真正的得以發(fā)揮 ． 考慮空間 ? ?? ?0,1pL ? ?1p? 內(nèi)的可測函數(shù) ??fx，即 ? ?10pf x dx? 存在 ． 對于任意的? ?? ?, 0,1pf g L? ，它們之間的距離定義為 ? ? ? ?? ? 110 p pf g f x g x d x? ? ?? ． 并且有 Minkowski 不等式成立 西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 22 ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?1 1 11 1 11 2 1 20 0 0p p pp p pf x f x d x f x d x f x d x? ? ?? ? ?， 12, pf f L? 以及 ? ?? ? ? ?? ?111 1 10 0 0pqpqfg d x f x d x g x d x?? ? ?， pfL? ， qgL? ， 111pq??， 若 1p? ，上式可化為 ? ?? ? ? ?11100 m a xp pfg d x f x d x g x??? 如果 0nff??， n?? ，那么，我們說 nf 強收斂于 f ． 所以，對于 pfL?? ， Kantorovich 算子強收斂于 f ． 定理 3． 5 設(shè) ? ?? ?0,1pL?? 是緊的，對 f??? ， ? ? ? ? ? ? ? ?110 1。 1 1 kn nkk nknn k nnK f x K f x n x x f t d tk ?? ?? ???? ? ? ?????? ?， n?? ， (312) 并且有 1nnK DB S?? ． 其中， D 是微分算子， S 是定積分算子，即 ? ? ? ?: 0,1 0,1S L C? ， ? ? ? ?0xSf x f z dz? ?． 由此，可以把 Bernstein 算子的一些性質(zhì)傳遞到 Kantorovich 算子 ． 觀察 Bernstein 算子 ， 可 以 發(fā) 現(xiàn) 將 其 中 的 kfn??????換為區(qū)間 1,11kknn?????????上的值? ?? ? ? ?1111 111111knk kn nkknnknf t d tn f t d tdt???? ??????????，就可以得到 Kantorovich 算子 ． 3． 2． 2 Kantorovich 算子的性質(zhì) 特別的，當(dāng) ? ?0,1fC? 時， Kantorovich 算子具有如下性質(zhì)： 性質(zhì) 若 f 在 ? ?0,1 上單 調(diào)，則 ? ?nKf x 也在 ? ?0,1 上單調(diào) ． 性質(zhì) ? ?1 h? 為凹連續(xù)模 【 9】 ，滿足 ? ? ? ?1,f h f h??? ， ? ?0,1h? ， 西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 21 則對于一切 1n? 有 ? ? ? ?1, 2 ,nK f h f h??? ， ? ?0,1h? ． 性質(zhì) 設(shè) ? ?0,1fC? ，對于一切 1n? 成立 ? ?? ? ? ?, 4 ,nK f h f h???， ? ?0,1h? ． 若 ? ?,fh? 為凹連續(xù)模，則有 ? ?? ? ? ?, 2 ,nK f h f h???， ? ?0,1h? ． 性質(zhì) 若 f 是 Lipschitz 函數(shù)，則對于一切 1n? ， nKf也是 Lipschitz 函數(shù) ． 3． 2． 3 Lebesgue 可積函數(shù)的 Kantorovich 算子逼近 先考慮 Kantorovich 算子對連續(xù)函數(shù)的逼近情況，有下面定理成立 ． 定理 3． 4 設(shè) ? ? ? ?0,1f x C? ， ? ? ? ? ? ? ? ?110 1。n n nn B B f x B x x f x?? ??? ? ? ? ? ? ?110 11 1 1n iini i i if f B xn n n???? ??? ? ? ??? ??? ? ?? ? ? ???? ? ?? ? ? ????， 上式右端的第一項將隨 n?? 而趨向于 ? ?1x x f??? ，第二項趨于零 ． 則得到 ? ? ? ? ? ? ? ?2 1l im 2 。nnB f x B f x?? ? ? ? ?112 01 12 1 1n iini ii f B xn n n ???? ?? ???? ??????? （ 310） 觀察上式可以發(fā)現(xiàn)，如果在它的右邊用 1in? 來代替 i? ，那么除了一個數(shù)量因子 之外便是 ? ? ? ?1x x f x??? 的 1n? 次 Bernstein 多項式 ． 這里我們指出，在 n無限增 大至無窮的過程中，這種代替對于極限函數(shù)是沒有影響的，事實上，由于 11i inn? ??? 對 0,1, , 1in? ??? ? 都成立，由 f?? 在 ? ?0,1 上的一致連續(xù)性，存在： 西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 19 N?? 使得，對任何 nN? ，則有 ? ? 1i iff n?????? ????????? ， (311) 其中 ? 為任意給定的正數(shù) ． 因此，當(dāng) nN? 時 ? ? ? ?1 10 11 1 1n iini i i if f B xn n n?? ?? ??? ? ? ??? ????? ? ? ???? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ?1 10 11 1 1n iini i i if f B xn n n?? ?? ? ? ? ??? ??? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?11110011nniinniiB x B x? ? ???????? ? ? ? ???． 將 （ 310） 改寫為 ? ? ? ? ? ?? ?2 112 。nB f x f x? 其中 ? ?0,1x? ． 證畢 ． Bernstein 多項式序列的單調(diào)下降性蘊含著其被逼近函數(shù) f 的凸性 ． 定理 3． 3 凸性逆定理（ L． Kosmak）設(shè) f： ? ?0,1 R? 有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)并且 ? ? ? ?1。nnB f x B f x?? 和 f的凸性推知 1 11 1 1i i i i if f fn n n n n?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? （ 36） 西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 17 對 0,1, , , 1i n n? ??? ?成立 ． 因為 f是凸函數(shù)，在子區(qū)間 1,iinn???????中， 1,2, ,in? ??? ，曲線 ? ?y f x? 應(yīng)不在由 11,iifnn? ? ? ???????????與 ,iifnn????????????兩點所確定的直線段的上方 ． 但 是 （ 36） 表明曲線上的點 ,11iifnn??????????????恰在這一段直線上，所以曲線必定與 這一段直線重合 ． 4． 對于任何固定 的 n?? ， 由已經(jīng)證明的第二個結(jié)論可知 :任何 m?? 則 ? ? ? ?。nnB f x B f x?? ? ?1 101 11 1 1n inii i i i if f f B xn n n n n? ??? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? （ 35） 由于 f 在 ? ?0,1 上凸，則有 1 111i i i iffn n n n?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?111 1 1i i n i iffn n n n n??? ? ? ?????? ??? ? ?????， 由 （ 35） 可得 ? ? ? ?1。nB f x 是 凸函數(shù)； 2． 由升階公式得 ? ? ? ?0。nB f x f x? 對 ? ?0,1x? 及 n?? 成立 ． 證明 : 1． 由 f 的凸性可知 西安石油大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 16 2120i i if f fn n n??? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 對 0,1, , 2in? ??? ? 成立，由此導(dǎo)出 ? ?22 。nnB f x B f x?? 對 ? ?0,1x? 及 n?? 成立； 3. 如果 f 在 ? ?0,1 上連續(xù)，那么由 ? ? ? ?1。0n innid i iB f x n f f B xd x n n??? ? ? ?? ?