函數(shù)的聯(lián)系性連續(xù)函數(shù)的概念-wenkub.com
2025-07-27 20:30 本頁(yè)面
【正文】 函數(shù) (其上確界為 1, 下確界為 1 ) 這個(gè)定理刻畫了閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的一個(gè)深刻的 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 推論 )(,],[)( xfbaxf 則上連續(xù)在閉區(qū)間若函數(shù).],[ 上有界在 ba( 0 , 1 ) .在 上 無(wú) 界()fx函數(shù) 有最大、最小這是因?yàn)橛啥ɡ? 可知 , 值 , 從而有上界與下界 ,于是 f (x) 在 [a, b] 上 是有 1( ) , ( 0 , 1 )f x xx??函 數(shù) 雖然也是連續(xù)函數(shù) ,但是 內(nèi)涵 ,在今后的學(xué)習(xí)中有很廣泛的應(yīng)用 . 界的 . 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 這說(shuō)明定義在開區(qū)間和閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的性 定理 （介值性定理） ],[)( baxf 在閉區(qū)間設(shè)函數(shù)( ( ) ( ) ( ) ( ) ) ,f a f b f b f a??? ? ? ?間 的 任 一 數(shù) 或.)( 0 ??xf.)()( bfaf ?且 ( ) ( )f a f b?若 是 介 于 與 之上連續(xù) , 使得,),(0 bax ?則 (至少 )存在一點(diǎn) 質(zhì)有著根本的區(qū)別 . 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 從幾何上看 ,當(dāng)連續(xù)曲線 從水平直線 ()y f x? y ??的一側(cè)穿到另一側(cè)時(shí) , 兩者至少有一個(gè)交點(diǎn) . ()y f x??yxo)(af)(bf?a b0x返回 后頁(yè) 前頁(yè) 推論 （ 根的存在性定理） ,],[)( 上連續(xù)在若 baxf0)( 0 ?xf應(yīng)當(dāng)注意 , 此推論與定理 . 于是 , 只要 則至少存在一點(diǎn) ,0)()( ?? bfaf ,0x 使 下面用確界定理來(lái)證明上述推論 , 大家要注意學(xué)習(xí) 證明了推論 , 也就完成了定理 證明 . 確界定理的使用方法 . 返回 后頁(yè) 前頁(yè) (E為圖中 x 軸上的紅 }.0)(,],[|{ ??? xfbaxxE 證 不妨設(shè) ( ) 0 , ( ) 0 ,f a f b??并設(shè) xyO a b零點(diǎn) . 證明如下： 的最大值就是函數(shù)的 線部分 )從幾何上看 , E 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 因?yàn)? ,aE? 所以 ,E ?? 又 E 是有界的 , 故由確 我們來(lái)否定下面兩種情形 : 1. 00( ) 0 .f x a x b? ? ?若 ， 則 有由 f (x)在點(diǎn) 是 0x連續(xù)的 , 根據(jù)保號(hào)性 , 存在 00 ( ) ,xb??? ? ? 使當(dāng).0)( ?xf.0 bxa ??界定理 , Ex s up0 ? 存在，顯然 ),[ 00 ??? xxx 時(shí)，仍有00( ) 0 , ,22f x x E??? ? ? ?特 別 是 使 得 這 就 與返回 后頁(yè) 前頁(yè) 0 s u p .xE? 相 矛 盾2. 00( ) 0 .f x a x b? ? ?若 ， 則 有同樣根據(jù)保號(hào)性 , 0 1 0 1,.x x x x E?? ? ? ?1( ) 0 , .fx ?從 而 也 導(dǎo) 致 矛 盾同時(shí)由 x0 ? sup E , 對(duì)上述 ? , 存在 1 ,x 使得0 0 00 ( ) , ( , ]x a x x x? ? ?? ? ? ? ? ?當(dāng) 時(shí) ，( ) 0 .fx ?排除了上面兩種情形后 , 就推得 .0)( 0 ?xf返回 后頁(yè) 前頁(yè) 由介值性定理與最大、最小值定理立刻得到如下 ].,[)],[( Mmbaf ?下面再舉一些應(yīng)用介值性定理的例題 . 設(shè) 在 上連續(xù) , 那么它的最大值 M 與最 ],[ ba()fx結(jié)論 : 小值 m 存在 , 并且 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 0 .nxr?使得證 先證存在性： , l i m .nxnx ? ? ? ? ? ?因 為 為 正 整 數(shù) 所 以由極限的保號(hào) .1 rx n ? () nf x x?又因?yàn)楹瘮?shù) 在1 ,x性知,存在 使 01( 0 , ) ,xx? .0 rx n ?使得 00 nx x r?這 個(gè) 我 們 記 為(讀作 r 的 n 次算術(shù)根 ). 例 3 0,rn?若 為 正 整 數(shù) ，則存在唯一的正數(shù) ,0x,)()0( 1xfrf ??且連續(xù)， 1[0 , ]x 上 所以存在返回 后頁(yè) 前頁(yè) ))(( 1221 ???? ??????? nnnnnn xyxxyyxyxy ??,0?( ) [ 0 , )nf x x? ? ?在 上我們只需證明 嚴(yán)格遞增 , , 0 ,x y x y? ? ?使 有即可 . 事實(shí)上， ).()( yfxf ?即 0 0 0[ , ] , ( ) .x a b f x x??存 在 使例 4 .],[]),([],[ babafbaf ?上連續(xù)，在設(shè) 求證 : 再證唯一性 : 返回 后頁(yè) 前頁(yè) ,)()( xxfxF ??.0))(())(()()( ?????? bbfaafbFaF則( ) , ( ) .a f a f b b??現(xiàn) 設(shè) 作輔助函數(shù)證 .)(,)( bbfafa ??由條件知.則結(jié)論成立 ( ) ( ) ,a f a b f b??若 或( ) [ , ] ,f x a b因 在 上 連 續(xù)( ) [ , ] .F x a b故 在 上也連續(xù).)( 00 xxf ?),(0 bax ?由介值性定理，存在 0( ) 0Fx ?使 ，即 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 任意的實(shí)數(shù) r, f (x)= r 至多有有限個(gè)解 . 證明： 證 00( , ) , ( ) .x a b f x x??只 要 證 在 點(diǎn) 連 續(xù) 對(duì) 任 意0 , ,e ? 由 條 件 方 程e?? )()( 0xfxf e?? )()( 0xfxf與 的解至多為有限個(gè) . 例 5 設(shè) 在區(qū)間 ( , )ab內(nèi)滿足介值性 ,并且對(duì)于 ()fx 在 內(nèi)連續(xù) . ),( ba()fx返回 后頁(yè) 前頁(yè) 1. 12{ , , , } ,nx x x設(shè) 這 有 限 個(gè) 解 為 記? ?1 0 2 0 0m in | | , | | , , | | ,nx x x x x x? ? ? ? ?0| | ,xx ???當(dāng) 時(shí)0| ( ) ( ) | .f x f x e??由介值性條件不難證明： .0??顯然xyOe?)( 0xfe?)( 0xf0x1?nx nx)()( 0xf0x ?? 0x ??返回 后頁(yè) 前頁(yè) 0| | ,xx ???當(dāng) 時(shí)0| ( ) ( ) | ,f x f x e??0( ) .f x x在
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