[高等教育]d1_5連續(xù)函數(shù)-資料下載頁
2025-01-19 18:26本頁面
【正文】 返回 結(jié)束 必存在 ..],[, 121 tsxx n???)} ,({m i n)( ],[121xfmf xxx ???? )} .({m a x)( ],[221xfMf xxx ????為證等式 ),(? 只需證其右端的值介于 M 和 m 之間 (含 M 和 ).m 由于 ),1,0()( niMxfm i ????所以有 ,)(1nMxfnmnii ?? ??從而得 .)(11Mxfnmnii ?? ??由推論 ，命題得證。 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 推論 設(shè) ],[ baCf ? 且 )(xf 不恒為常數(shù) , 則 ]),([ baf 是一個閉區(qū)間 . 證明： 設(shè) ],[ baCf ? 由定理 )(xf 在 [a,b]上 必能取得最大值 M和最小值 m， 若 f(x)不是常數(shù)， 則 ],[ bax ?? 有 ,)( Mxfm ?? 故有 ],[]),([ Mmbaf ?另一方面，由推論 ， ],[ Mm?? ?，至少存在一點 ],[ bax? 使 ,)( ??xf 從而有 ]),([],[ bafMm ? . 因此有 ].,[]),([ Mmbaf ? 從而證明了結(jié)論 . 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 函數(shù)的 一致連續(xù)性 已知函數(shù) 在區(qū)間 I 上連續(xù) , 即 : 一般情形 , ., 0 都有關(guān)與 x?? 就引出 了一致連續(xù)的概念 . 定義 (一致連續(xù)函數(shù) ) 都有 在 I 上一致連續(xù) . 為任一函數(shù) ,若 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 比較可知 : 例 證明 : 正弦函數(shù) 在 上是一 致連續(xù)的 . 證 ),(, 21 ?????? xx2s i n2c o s2s i ns i n212121xxxxxx ????,2s i n2 2121 xxxx ????目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,0??? ,?? ? ),(, 21 ?????? xx就有 ??? 21 xx取 當(dāng) 時 , 恒有 .s i ns i n 21 ??? xxxsin因此 在 ),( ???? 上是一 致連續(xù)的 . 例 證明 : 函數(shù) 在 ]1,0( 上連續(xù)卻不一致連續(xù) . 證 由于 是初等函數(shù)，因此它在 ]1,0( 上是連續(xù) 的 . 下面證明它在 ]1,0( 上不一致連續(xù) . 取 ,2211 ?? ??nx?nx12 ? ),( ?? Nn 則 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 而且 ,當(dāng) ??n 時 , .021 ?? xx 因此，對于 21?? 及任 何 ,0?? 都存在 ],1,0(, 21 ?xx 滿足 ,21 ??? xx 卻有 故 在 ]1,0( 上不一致連續(xù) . 定理 ],[ baCf ?若 則 f ],[ ba 上一致連續(xù) . (證明略 ) 在 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié) 1(連續(xù)性與間斷點 ) 左連續(xù) 右連續(xù) 第一類間斷點 可去間斷點 跳躍間斷點 左右極限都存在 第二類間斷點 無窮間斷點 振蕩間斷點 左右極限至少有一個不存在 在點 間斷的類型 在點 連續(xù)的等價形式 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié) 2(連續(xù)函數(shù)性質(zhì)與初等函數(shù)連續(xù)性 ) 基本初等函數(shù) 在定義區(qū)間內(nèi) 連續(xù) 連續(xù)函數(shù)的 四則運(yùn)算 結(jié)果仍連續(xù) 連續(xù)函數(shù)的 反函數(shù) 連續(xù) 連續(xù)函數(shù)的 復(fù)合函數(shù) 連續(xù) 初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù) 說明 : 分段函數(shù)在界點處是否連續(xù)需討論其 左、右連續(xù)性 . 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié) 3(閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) ) 在 上達(dá)到最大值與最小值 。 上可取最大與最小值之間的任何 值 。 4. 當(dāng) 時 , 使 必存在 上有界 。 在 在 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié) 4(一致連續(xù) ) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 作業(yè) 習(xí)題 15 1 13（ 2）（ 4） 習(xí)題課
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