【正文】 ????0001)(xxxf試證函數(shù)0 ( )x f x? 是 的所以 并且 是 的一個可去間斷點 . 0x ? ()fx1xyO0l i m ( ) 1 ( 0 ) ,x f x f? ??返回 后頁 前頁 00( ) ( ) .A g x x F x?在 時 ， 恒 為 的 一 個 可 去 間 斷 點那么函數(shù)注 0( ) ,g x x x?對 于 任 意 函 數(shù) 若 它 在 處 連 續(xù) ，1. 00( ) ,(),g x x xFxA x x???? ??返回 后頁 前頁 0()f x x義 在 點 的 值 為),(lim0xfxx ? 那 么 它 就 在 點例 4 討論函數(shù) 1/1, 0,e1()00,x xfxx????? ?? ??在 x ? 0 處 是否連續(xù)？若不連續(xù)，則是什么類型的 x0是 的可去間斷點 ,那么只要重新定 ()fx x0 連續(xù) . 間斷點？ 返回 后頁 前頁 10011li m ( ) li m li m 0 ( 0 ) ,e1e1 yyxx xf x f?? ? ? ???? ? ? ???所以 f (x) 在 x ? 0 處右連續(xù)而不 左連續(xù) ,從而不 10011li m ( ) li m li m 1 ( 0 ) ,e1e1 yyxx xf x f?? ? ? ???? ? ? ???解 因為 斷點是跳躍間斷點 . 連續(xù) . 既然它的左 、 右極限都存在 ， 那么這個間 返回 后頁 前頁 例 5 10 ( ) sinx f x x??試 問 是 函 數(shù) 的 哪 一 類 間 斷解 因為由歸結原理可知， 0011lim sin lim sinxxxx????與均不存在， 0 ( ) .x f x?所以 是 的一個第二類間斷點點？ 返回 后頁 前頁 三、區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) 若函數(shù) f 在區(qū)間 I上的每一點都連續(xù) ,則稱 f 為 I )(, 為正整數(shù)nxycy n?? xy sin?例如 , 以及 21 xy ??都是 R上的連續(xù)函數(shù)；而函數(shù) 是區(qū)間 1,1 ??? xx[1,1]上的連續(xù)函數(shù) ,在 處的連續(xù)分 別指右連續(xù)和左連續(xù) . 數(shù)在該點連續(xù)是指相應的左連續(xù)或右連續(xù) . 上的連續(xù)函數(shù) .對于閉區(qū)間或半閉區(qū)間的端點 ,函 返回 后頁 前頁 如果函數(shù) f 在 [a,b]上的不連續(xù)點都是第一類的 , : ( ) 0 .x D x x ?試 證 僅 在 處 連 續(xù)復習思考題 能要添加或改變某些分段點處的值 ). 是由若干個小區(qū)間上的連續(xù)曲線合并而成 (當然可 一個按段連續(xù)函數(shù) .從幾何上看 ,按段連續(xù)曲線就 并且不連續(xù)點只有有限個 ,那么稱 f 是 [a,b]上的 返回 后頁 前頁 167。 2 連續(xù)函數(shù)的性質 在本節(jié)中 ,我們將介紹連續(xù)函數(shù)的局 一、連續(xù)函數(shù)的局部性質 四、一致連續(xù)性 三、反函數(shù)的連續(xù)性 二、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質 這些性質是具有分析修養(yǎng)的重要標志 . 部性質與整體性質 .熟練地掌握和運用 返回返回 后頁 前頁 一、連續(xù)函數(shù)的局部性質 0xf 在點若函數(shù)所謂連續(xù)函數(shù)局部性質就是指 : 連續(xù) (左連續(xù)或右連續(xù) ),則可推知 f 在點 x0 的某 號性、四則運算的保連續(xù)性等性質 . 個局部鄰域 (左鄰域或右鄰域 )內(nèi)具有有界性、保 返回 后頁 前頁 0| ( ) | | ( ) | 1 .f x f x??0| | ,xx ???當 時 0| ( ) ( ) | 1 ,f x f x??故 | f (x) | 的一個明確的上界 . 0fx因為 在 連續(xù)， 存在所以對 ,1?e證 ,0??1,e ?取 這 個 特 定 的 值注意 :我們在證明有界性時 , 0,e ?“ 對 于 任 意 的 ” 這 樣 可 求 得而不是用術語 0( ) .f U x在 某 鄰 域 上 有 界連續(xù)，在點若函數(shù) 0xf定理 （局部有界性） 則 返回 后頁 前頁 ),0)(()( ???? rxfrxf 或00( , ) ,x x x??? ? ?當 時 有,0??存在0 0 0| ( ) ( ) | ( ) ,f x f x f x re? ? ? ?000 ( ) ( ( ) 0 ) ,r f x f x r r? ? ? ? ?或 的 正 數(shù) 存 在0 ,fx若 函 數(shù) 在 點 連 續(xù) 且定理 （ 局部保號性） ,)0)((0)( 00 ?? xfxf 或則對任意一個滿足 ? ?0 0 0,f x f x re ??因為 在 連續(xù) 所以對正數(shù)證 000 , ( , ) ,x x x? ? ?? ? ? ?當時返回 后頁 前頁 ( 2 ) ( ) ( ) ,f x g x?( 1 ) ( ) ( ) ,f x g x?.2 )( 0xfr ?注 在具體應用保號性時 ,我們經(jīng)常取 .0)( ?? rxf 于是證得 ( ) , ( )f x g x若函數(shù)定理 （連續(xù)函數(shù)的四則運算） 則函數(shù)連續(xù)均在點 ,0x0( 4 ) ( ) / ( ) , ( ) 0f x g x g x ?( 3 ) ( ) ( ) ,f x g x?0 .x在點 也是連續(xù)的返回 后頁 前頁 此定理的證明可以直接從函數(shù)極限的四則運算得 01() nnP x a a x a x? ? ? ?也是連續(xù)函數(shù) . 我們知道 ,常函數(shù) 與線性函數(shù) 都是 R 上 y = c y = x到 , 具體過程請讀者自行給出 . 的連續(xù)函數(shù) , 故由四則運算性質 , 易知多項式函數(shù) 返回 后頁 前頁 0101()()nnmma a x a xPxQ x b b x b x? ? ??? ? ?同理 ,有理函數(shù) (分母不為零 )同樣是連續(xù)函數(shù) . 下面這個定理刻劃了連續(xù)這個性質在復合運算下 00, ( ) .u f x?連 續(xù) 0( ( ) ) .g f x x則復合函數(shù) 在點 連續(xù)0()g u u在 點 0()f x x若 函 數(shù) 在 點 連 續(xù) ，定理 是不變的 . 返回 后頁 前頁 ,01 ??存在 01| | ,uu ???當 時 有0| ( ) ( ) | ,g u g u e??證 ,0?e因此對于任意的 0(