函數(shù)的聯(lián)系性連續(xù)函數(shù)的概念-預(yù)覽頁
【正文】 的上界 . 0fx因為 在 連續(xù)， 存在所以對 ,1?e證 ,0??1,e ?取 這 個 特 定 的 值注意 :我們在證明有界性時 , 0,e ?“ 對 于 任 意 的 ” 這 樣 可 求 得而不是用術(shù)語 0( ) .f U x在 某 鄰 域 上 有 界連續(xù)，在點若函數(shù) 0xf定理 （局部有界性） 則 返回 后頁 前頁 ),0)(()( ???? rxfrxf 或00( , ) ,x x x??? ? ?當(dāng) 時 有,0??存在0 0 0| ( ) ( ) | ( ) ,f x f x f x re? ? ? ?000 ( ) ( ( ) 0 ) ,r f x f x r r? ? ? ? ?或 的 正 數(shù) 存 在0 ,fx若 函 數(shù) 在 點 連 續(xù) 且定理 （ 局部保號性） ,)0)((0)( 00 ?? xfxf 或則對任意一個滿足 ? ?0 0 0,f x f x re ??因為 在 連續(xù) 所以對正數(shù)證 000 , ( , ) ,x x x? ? ?? ? ? ?當(dāng)時返回 后頁 前頁 ( 2 ) ( ) ( ) ,f x g x?( 1 ) ( ) ( ) ,f x g x?.2 )( 0xfr ?注 在具體應(yīng)用保號性時 ,我們經(jīng)常取 .0)( ?? rxf 于是證得 ( ) , ( )f x g x若函數(shù)定理 （連續(xù)函數(shù)的四則運算） 則函數(shù)連續(xù)均在點 ,0x0( 4 ) ( ) / ( ) , ( ) 0f x g x g x ?( 3 ) ( ) ( ) ,f x g x?0 .x在點 也是連續(xù)的返回 后頁 前頁 此定理的證明可以直接從函數(shù)極限的四則運算得 01() nnP x a a x a x? ? ? ?也是連續(xù)函數(shù) . 我們知道 ,常函數(shù) 與線性函數(shù) 都是 R 上 y = c y = x到 , 具體過程請讀者自行給出 . 的連續(xù)函數(shù) , 故由四則運算性質(zhì) , 易知多項式函數(shù) 返回 后頁 前頁 0101()()nnmma a x a xPxQ x b b x b x? ? ??? ? ?同理 ,有理函數(shù) (分母不為零 )同樣是連續(xù)函數(shù) . 下面這個定理刻劃了連續(xù)這個性質(zhì)在復(fù)合運算下 00, ( ) .u f x?連 續(xù) 0( ( ) ) .g f x x則復(fù)合函數(shù) 在點 連續(xù)0()g u u在 點 0()f x x若 函 數(shù) 在 點 連 續(xù) ，定理 是不變的 . 返回 后頁 前頁 ,01 ??存在 01| | ,uu ???當(dāng) 時 有0| ( ) ( ) | ,g u g u e??證 ,0?e因此對于任意的 0( ) ,g u u由 于 在 點 連 續(xù)01( ) , 0 ,f x x ? ?又因為 在點 連續(xù) 故對上述00 , | | ,xx??? ? ?存 在 當(dāng) 時 有0 0 1| ( ) ( ) | | | ,f x f x u u ?? ? ? ?00| ( ( ) ) ( ( ) ) | | ( ) ( ) | ,g f x g f x g u g u e? ? ? ?于是 返回 后頁 前頁 0( ( ) ) .g f x x這 就 證 明 了 在 點 連 續(xù) 對這個定理我們再作一些討論 ,以加深大家對該定 00 0( 1 ) li m ( ) , li m ( ) ,u u x xg u A f x u?? ??由 不 一 定 有請大家仔細(xì)觀察定理 的證明 , 看看此時究竟哪 0l i m ( ( ) ) .xx g f x A? ?理的認(rèn)識 . 里通不過 . 返回 后頁 前頁 ) ) .(lim()())((lim00 0xfgugxfg xxxx ?? ??)*(應(yīng)用定理 ,就得到所 0( ) .f x x使 得 在 點 連 續(xù)(*)式相應(yīng)的結(jié)論仍舊是成立的 . ,)(lim,)()2( 000uxfuug xx ??連續(xù)在若 則有 0 0l i m ( )xx f x u? ?若將 改為 需要的結(jié)論 . ,)(lim 0uxfx ???? 0)(lim uxfx ???? ,)(lim 0uxfx ???或事實上 ,只要補充定義 （ 或者重新定義） 00()f x u?返回 后頁 前頁 上述 (1)和 (2)究竟有什么本質(zhì)的區(qū)別呢 ? 請讀者作 .0))1(lims i n ()1s i n (lim 2121 ???? ?? xx xx).1s i n (lim 21 xx ??求例 1 22s in ( 1 ) ( ) s in , ( 1 )x g u u u x? ? ? ?可 視 為 的 復(fù)解 合，所以 出進一步的討論 . 返回 后頁 前頁 例 2 .s i n2l i m 0 x xx ??求解 ( ) 1 ,g u u u??因 為 在 連 續(xù) 所 以.112)s i n2(lims i n2lim10???????? xxxxxx例 3 .)11s i n(lim xx x???求解 1lim ( 1 ) e , sin e ,xxuux??? ? ?因 為 在 點 連 續(xù)所以 .es i n)11s i n(lim ????xx x返回 后頁 前頁 均有 使得對一切 存在 , 0 D x D x ? ? ),)()(()()( 00 xfxfxfxf ??[ , ] , .ab 上的整體性質(zhì) 證明將在第七章里給出.],[ 上連續(xù)在閉區(qū)間設(shè) baf 在本節(jié)中將研究 f 在 二、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 定義 1 ( ) .f x D設(shè) 為 定 義 在 數(shù) 集 上 的 一 個 函 數(shù)若 ( ) ( ) ,f x D則 稱 在 上 有 最 大 小 值0 ()x 稱 為 最 大 小 值0( ) ( ) ( ) .f x f x D稱 為 在 上 的 最 大 小 值點 , 返回 后頁 前頁 的最大值不存在 ,最小值為零 .注意 : ][ xxy ??既無最大值 ,又無最小值 . 22yx?? π πsin ( , )在 上定理 （最大、最小值定理） ()fx若 函 數(shù) 在 閉 區(qū)[ , ]ab間 上連續(xù)， ( ) [ , ] .f x a b則 在 上有最大、最小值xy sgn?例如 ,符號函數(shù) 的最大值為 1,最小值為 1。f x f x e??情形 2. 注意到 ,1?? 所以若情形 1 不成立 , 必然有 , 21 XxXx ??返回 后頁 前頁 .),[)(, 上一致連續(xù)在證得綜上 ??axf于是 12| ( ) ( ) | .f x f x e?
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