隨機變量的分布函數一、分布函數的概念-預覽頁
【正文】 ： P (x, y)?0, (x, y)?R2。 此外 ,P(x, y)還有下述性質 (3)若 P(x, y)在 (x, y)?R2處連續(xù)，則有 聯(lián)合密度 f(x, y)的性質 (p120) ????Gd x d yyxpGYXP .),(}),{((4)對于任意平面區(qū)域 G? R2, 例 3：設 ??? ?????o t h e r syxyxpYX010,101),(~),(求 :P{XY} 求： (1)常數 A； (2) F(1,1)； (3) (X, Y)落在三角形區(qū)域 D： x?0, y?0, 2X+3y?6 內的概率。 ????? ???其它，的面積,0),(1),(2RDyxDyxPDGSSGYXP ?? }},{( 易見，若（ X， Y） 在區(qū)域 D上 (內 ) 服從均勻分布，對 D內任意區(qū)域 G， 有 4. 兩個常用的二維連續(xù)型分布 其中， ? ?2為實數， ?? | ? |1，則稱 (X, Y) 服從參數為 ?1, ?2, ?1, ?2, ?的二維正態(tài)分布，可記為 ),(~),( 222121 ?????NYX(2)二維正態(tài)分布 若二維隨機變量 (X, Y)的密度函數為 ,121),(])())((2)([)1(212212222212121212 ????????????????????????yyxxeyxP結論： N(?1, ?2, ?12, ?22, ?)的邊際密度函數 PX(x)是N(?1, ?12)的密度函數，而 PY(Y)是 N(?2, ?22)的密度函數。 三 、隨機變量的相互獨立性 定理 (p127): 設 (X,Y)是二維連續(xù)型隨機變量， X與 Y獨立的充分必要條件是， P(x,y)=PX(x)PY(y) 定理（復習） :設 (X,Y)是二維離散型隨機變量，其分布律為 Pij=P{X=xi,Y=yj},i,j=1,2,...， 則 X與 Y獨立的充分必要條件是對任意 i,j， Pij=Pi?P?j 。 ? ?? ? ? ?dxxpyXPyYPyFxxgyxxpyxXYX???????????????????2)()()(0112122其它解： ?ydxyFyyY ?? ?? 21)(????? ????其它01021)(39。),(),(d x d yyxpzyxg????.)()()( dz zdFzFzp ZZZ ???然后再求出 Z的密度函數 : 二、二維隨機變量函數的密度函數 (1)和的分布 已知 (X, Y)～ p(x, y), (x, y)?R2, 求 Z＝ X＋ Y的密度。 ? ??? 0 .),( dyyyzyp? ?? 0 ),()( dyyyzypzp Z三、統(tǒng)計學上的幾個常用分布 分布 2?若 X的密度函數為 ?????????????0,00,)2(21)(2122xxexnxpxnn則稱 X服從自由度為 n的 分布 . 2?).(~),1,0(~,).1( 21221 nXNXXniiiidn ?? ???則定理：設 ?(2)可加性 :若 X～ (n),Y～ (m),X,Y獨立，則X+Y～ (n+m)。2)(（ 2）指數分布 ???????000)(xxexpx???1?dxexXE x????0)( ?? ?????0xx d e ?dxexe xx ????? ???00??（ 3）正態(tài) 分布 N(?, ?2) ????????xexpXx,21)(~ 222)(????dxexXEx222)(2)( ???????????。 例 6： 設隨機變量 nXX ,...,1相互獨立，且均服從 ),( 2??N 分布，求隨機變量 ???niiXnX11的數學期望 答 : 答 : ?????niiXEnXE1)(1)(227)14()32()( ???? ZEYXEUE 若 E(X),E(X2)存在，則稱 E[XE(X)]2 為 . X的 方差 ，記為 D(X),或 Var(X). dxxPEXxXD )(][)( 2? ??? ??)()( XDX ??稱 為 標準差 易見，若 X~p(x)分布，則 二 .方差 D(X)=E(X2)[E(X)]2. 例 1：設隨機變量 X的概率密度為 ???????????101011)(xxxxxp1)求 D(X), 2)求 )( 2XD 若 ，則對任意 ??0，有 這就是著名的 契貝曉夫 (Chebyshev)不等式。 (2) D(aX)=a2D(X), a為常數； (3)若 X， Y 獨立，則 D(X+Y)=D(X)+D(Y)。 2) COV(X,X)=D(X)。 1) |?XY|?1； 2) |?XY|=1?存在 常數 a, b 使 P{Y= aX+b}=1； 3) X與 Y不相關 ? ?XY =0 ? COV(X, Y)=0 證明：設 (2)相關系數的性質 引理： 若 (X,Y)是一個二維隨機變量 ,又 則有 ???? 22 , EYEX222)]([ EYEXXYE ??2222 )(2)()( EYXYEtEXtYtXEtg ???????因為對一切 t,有 ,所以 ,從而二次方程 或者沒有實根 ,或者只有一個重根 ,由此知它的判別式非正 ,即有 0)( 2 ?? YtX 0)( ?tg0)]([ 222 ??? EYEXXYE0)( ?tg注： （ 1） 只是隨機變量間線性關系強弱的一個 度量； （ 2） 當 ， X與 Y之間存在線性關系 （ 以概率 1） ； 當 較大時 ， 說明 X與 Y線性關系程度較好； 當 較小時 ， 說明 X與 Y線性關系程度較差； 當 時 ， X與 Y不相關 。 EXYXEE ?}){(3
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