【正文】 , 上一致連續(xù)在證得綜上 ??axf于是 12| ( ) ( ) | .f x f x ???返回 后頁(yè) 前頁(yè) 167。 (ii) 三角函數(shù) 。貨幣流通增長(zhǎng)率為 %。 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 通貨膨脹和利息率 ? 名義利率 , I not adjusted for inflation ? 實(shí)際利率 , r: adjusted for inflation ? r = i ? ? 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 費(fèi)雪效應(yīng) ? 費(fèi)雪方程 : i = r + ? ? 第三章我們知道 : S = I 決定實(shí)際利率 r . ? 貨幣數(shù)量方程 表明貨幣供給量的增長(zhǎng)率決定通貨膨脹率 ? 貨幣供給量如何決定名義利率？ –?的增加會(huì)帶來(lái) i相等幅度的增加 。為了啟動(dòng)經(jīng)濟(jì)， 1992年貨幣流通量增長(zhǎng)了 %。 ? (k is exogenous) 返回 后頁(yè) 前頁(yè) Money demand and the quantity equation ? money demand: (M/P )d = k Y ? quantity equation: M ?V = P ?Y ? 兩個(gè)方程的聯(lián)系是 : k = 1/V（貨幣需求等于貨幣供給） ? 相對(duì)于人們的收入，人們想要持有更多的貨幣 (k is high)，貨幣的轉(zhuǎn)手（貨幣流通速度也就越慢 (V is low)。 ) ( , ) ,U x a b? ?返回 后頁(yè) 前頁(yè) 證 不妨設(shè) f (x) 嚴(yán)格增 , 那么 )](,)([ bfaf 就是反 上連續(xù) , 且 與 f (x) 有相同的單調(diào)性 . )(1 xf ?定理 若函數(shù) f (x) 在 ab[ , ] 上嚴(yán)格單調(diào)且連續(xù) , 1 ( ) [ ( ) , ( ) ]y f x f a f b?? 在f b f a[ ( ) , ( ) ]或則反函數(shù) 三、反函數(shù)的連續(xù)性 函數(shù) 的定義域 . )(1 yfx ??1 ( ) [ ( ) , ( ) ]x f y f a f b?? 在 上 嚴(yán) 格 增1. (證明見(jiàn)定 理 ). 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 2. 1 ( ) [ ( ) , ( ) ] .x f y f a f b?? 在 上 連 續(xù)(如圖所示 ) .0 bxa ??則),()( 0 bfyaf ?? ,)( 010 yfx ??令,0y對(duì)于任意O xya b()fa()fb0x0y① 每一 ② 對(duì)應(yīng) 1y2y0x ?? 0x ??③ 任給 ⑤ 取 ? ?m i n 2 0 0 1,y y y y? ? ??④ 對(duì)應(yīng) 返回 后頁(yè) 前頁(yè) ),()()( 21111 yfyfyf ??? ??.)()( 0101 ?? ???? ?? yfyyf即時(shí)，當(dāng) )()( 2020 yyyyy ?????? ??請(qǐng)讀者類(lèi)似地證明該函數(shù)在端點(diǎn)的連續(xù)性 . ? ?1 ( ) ( ) , ( )x f y f a f b?? 在這就說(shuō)明了 上連續(xù) . ,)(,)( 0201 ?? ???? xfyxfy,0},m i n { 1002 ???? yyyy?令設(shè), 00 bxxa ????? ???對(duì)于任意的正數(shù) 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 且嚴(yán)格增 . 關(guān)于其它的反三角函數(shù) ,c otar c,ar c t an,ar c c os xyxyxy ???均可得到在定義域內(nèi)連續(xù)的結(jié)論 . 例 6 ( ) si n 22f x x ?????? ????由 于 在 ， 上 連 續(xù) 且 嚴(yán) 格 增 ， 因此它的反函數(shù) a r c s in [ 1 , 1 ]yx?? 在上也是連續(xù) 嚴(yán)格增 . 例 7 ( ) [ 0 )ny x n? ? ?由 于 為 正 整 數(shù) 在 ， 上連續(xù)且嚴(yán) 在 上亦為連續(xù)且 nxy 1?格增 , 那么其反函數(shù) ),0[ ??返回 后頁(yè) 前頁(yè) 在本節(jié)中，我們將介紹一致連續(xù)性這個(gè)及其重要 12| ( ) ( ) | ,f x f x ???只要 就有 12| | ,xx ??? 四、一致連續(xù)性 任意的正數(shù) 0?? 0?? , 使得對(duì)任意 ,存在 1 , 2 ,x x I?定義 2. 設(shè) 為定義在區(qū)間 I上的函數(shù) , 如果對(duì)于 ()fx則稱(chēng) 在區(qū)間 I上一致連續(xù) . ()fx的概念 . 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 首先來(lái)看兩個(gè)例題 . 例 8 ( ) [ 1 , ) .f x x? ? ?證明 在 上一致連續(xù)證 有因?yàn)閷?duì)任意的 ,),1[, 21 ???xx|,||||| 12211221 xxxxxxxx ??????0 , ,? ? ???所以對(duì)任意的正數(shù) 只要取 當(dāng)12||xx ??? 時(shí) ，1 2 2 1| | | | ,x x x x ?? ? ? ?[ 1 ) .x ??所 以 在 ， 上 一 致 連 續(xù)返回 后頁(yè) 前頁(yè) 證 首先我們根據(jù)一致連續(xù)的定義來(lái)敘述 f (x) 在區(qū) 例 9 1 ( 0 , 1 ) .y x?證明 在 內(nèi)不一致連續(xù)1 2 1 2, , | | ,x x I x x ?? ? ?雖 然但仍有 .|)()(| 021 ??? xfxf1 , ( 0 , 1 )yxx??現(xiàn)在來(lái)驗(yàn)證函數(shù) 確實(shí)不是一致 連續(xù)的 . 0 0 , ( )? ? ??存在 對(duì)任意正數(shù) 無(wú)論 多么小，總有 間 I上不一致連續(xù)的定義： 返回 后頁(yè) 前頁(yè) ),21(1 ?? ??? ，對(duì)任意正數(shù)取1 2 1 2, , | | ,2x x x x???? ? ? ?令 雖.111112??? ?xx但1 ( 0 , 1 ) .yx?這 就 說(shuō) 明 在 內(nèi) 不 一 致 連 續(xù)1x2x 1 xyO試問(wèn) , 函數(shù) 在區(qū)間 I上一致連續(xù)與 在區(qū) ()fx()fx間 I上連續(xù)的區(qū)別究竟在哪里？ 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 僅與 ? ? 有關(guān) . 01 ( 0 , 1 ) ,yxx??比 如 在 連 續(xù) 對(duì)于任意正數(shù) ? , 所得 [ 1 )yx? ? ?已 證 得 在 ， 上 一 致 連 續(xù) . 這 是 由 于答 :(1) 首先 , 對(duì)于 ,0?? 如果 在區(qū)間 I上連續(xù)， ()fx0x 有 關(guān) ,那么 , 不僅與 ? 有關(guān) , 而且還與所討論的點(diǎn) ?).,( 0 ??? x?即 而 在區(qū)間 I上一致 連續(xù) . 那么 ()fx,2,2mi n 020 ??????? xx ?? 0x? ,它 與 都 有在例 8中 顯然 關(guān) . 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 0,.x? ? ?? 與 無(wú)關(guān)),( 0x??? ?? 有時(shí)當(dāng) ,|| 0 ??? xx.|)()(| 0 ??? xfxf 過(guò)程中有一個(gè)正下界 (當(dāng)然 00( , )xx??若 在 的 變 化(2) 函數(shù) f (x) 在每一點(diǎn) 連續(xù) , Ix ?0 ,0???下述定理是連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的又一整體性質(zhì) . 區(qū)間 I上就一致連續(xù)了 . 這個(gè)下界只與 ? 有關(guān) , 而與 x0無(wú)關(guān) ), 則此時(shí) f (x)在 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 上連續(xù) , 則 ],[ baf 在],[ ba 上一致連續(xù) . 這個(gè)定理告訴我們 : 定義在閉區(qū)間上的函數(shù) , 連 例 10 設(shè)區(qū)間 1Ι 的右端點(diǎn)為 1Ιc? , 區(qū)間 2Ι 的左端 定理 （一致連續(xù)性定理） 若函數(shù) f 在閉區(qū)間 上一致連續(xù) , )( xf則 在區(qū)間 21 ΙΙ ? 上也一致連續(xù) . ., 2Ιcc ?并且 證明：若 )(xf 分別在 21 , ΙΙ點(diǎn)也為 續(xù)和一致連續(xù)是等價(jià)的 . 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 連續(xù)，所以分別存在 使得 ,0,0 21 ?? ??當(dāng) 1 2 1 1 2 1, , | | ,xx Ι xx ?? ? ? 時(shí)12| ( ) ( ) | ,f x f x ???當(dāng) 1 2 2 1 2 2, , | |xx Ι xx ?? ? ? 時(shí) ,12| ( ) ( ) | .f x f x ???,0},m i n { 21 ?? ???取 則對(duì)于任意的 , 2121 ΙΙxx ??證 對(duì)任意的 ,0?? 因?yàn)? )(xf 在 21 ,ΙΙ 上一致 1 2 1 2 21 . , , .情 形 或xx Ι xx Ι??此時(shí)自然有 12| ( ) ( ) | .f x f x ???有以下兩種情形： 12| | ,xx ???當(dāng) 時(shí)返回 后頁(yè) 前頁(yè) 1 1 2 22 . , .x Ι x Ι??情形 注意到 1 2 1 2, | | , | | ,c Ι Ι x c x c??? ? ? ? ?1 2 1 2| ( ) ( ) | | ( ) ( ) | | ( ) ( ) |f x f x f x f c f x f c? ? ? ? ?可得 .2 ??? ???綜上，證得 )(xf 在區(qū)間 21 ΙΙ ? 上一致連續(xù) . 注 例 10的條件 ”“ 21 ΙΙc ?? 是重要的 . 比如 返回 后頁(yè) 前頁(yè) ????????32,021,1)(xxxf在區(qū)間 ]2,1[ 與區(qū)間 ]3,2( 上分別一致連續(xù) , 但在 區(qū)間 [1, 3] 上不連續(xù) , 當(dāng)然也不一致連續(xù) . 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 例 11 設(shè) ),[)( ??axf 在 上連續(xù) , 并且 .)(l i m Axfx ????證明 ),[)( ??axf 在 上一致連續(xù) . 證 因?yàn)? Axfx ???? )(l i m, 所以對(duì)任意的正數(shù) ,0??存在 有時(shí)，當(dāng) XxxaX ?? 21 ,21| ( ) ( ) | .f x f x ???又 ]1,[)( ?Xaxf 在 上連續(xù) , 故由定理 f (x) [ , 1 ]aX ?在 上一致連續(xù) . 因此對(duì)上述 ?， 存在正數(shù) ,)1( ??? 使對(duì)任意 ],1,[, 21 ?? Xaxx返回 后頁(yè)