【正文】 面兩種情形 : 1. 00( ) 0 .f x a x b? ? ?若 ， 則 有由 f (x)在點(diǎn) 是 0x連續(xù)的 , 根據(jù)保號(hào)性 , 存在 00 ( ) ,xb??? ? ? 使當(dāng).0)( ?xf.0 bxa ??界定理 , Ex s up0 ? 存在，顯然 ),[ 00 ??? xxx 時(shí)，仍有00( ) 0 , ,22f x x E??? ? ? ?特 別 是 使 得 這 就 與返回 后頁 前頁 0 s u p .xE? 相 矛 盾2. 00( ) 0 .f x a x b? ? ?若 ， 則 有同樣根據(jù)保號(hào)性 , 0 1 0 1,.x x x x E?? ? ? ?1( ) 0 , .fx ?從 而 也 導(dǎo) 致 矛 盾同時(shí)由 x0 ? sup E , 對上述 ? , 存在 1 ,x 使得0 0 00 ( ) , ( , ]x a x x x? ? ?? ? ? ? ? ?當(dāng) 時(shí) ，( ) 0 .fx ?排除了上面兩種情形后 , 就推得 .0)( 0 ?xf返回 后頁 前頁 由介值性定理與最大、最小值定理立刻得到如下 ].,[)],[( Mmbaf ?下面再舉一些應(yīng)用介值性定理的例題 . 設(shè) 在 上連續(xù) , 那么它的最大值 M 與最 ],[ ba()fx結(jié)論 : 小值 m 存在 , 并且 返回 后頁 前頁 0 .nxr?使得證 先證存在性： , l i m .nxnx ? ? ? ? ? ?因 為 為 正 整 數(shù) 所 以由極限的保號(hào) .1 rx n ? () nf x x?又因?yàn)楹瘮?shù) 在1 ,x性知,存在 使 01( 0 , ) ,xx? .0 rx n ?使得 00 nx x r?這 個(gè) 我 們 記 為(讀作 r 的 n 次算術(shù)根 ). 例 3 0,rn?若 為 正 整 數(shù) ，則存在唯一的正數(shù) ,0x,)()0( 1xfrf ??且連續(xù)， 1[0 , ]x 上 所以存在返回 后頁 前頁 ))(( 1221 ???? ??????? nnnnnn xyxxyyxyxy ??,0?( ) [ 0 , )nf x x? ? ?在 上我們只需證明 嚴(yán)格遞增 , , 0 ,x y x y? ? ?使 有即可 . 事實(shí)上， ).()( yfxf ?即 0 0 0[ , ] , ( ) .x a b f x x??存 在 使例 4 .],[]),([],[ babafbaf ?上連續(xù)，在設(shè) 求證 : 再證唯一性 : 返回 后頁 前頁 ,)()( xxfxF ??.0))(())(()()( ?????? bbfaafbFaF則( ) , ( ) .a f a f b b??現(xiàn) 設(shè) 作輔助函數(shù)證 .)(,)( bbfafa ??由條件知.則結(jié)論成立 ( ) ( ) ,a f a b f b??若 或( ) [ , ] ,f x a b因 在 上 連 續(xù)( ) [ , ] .F x a b故 在 上也連續(xù).)( 00 xxf ?),(0 bax ?由介值性定理，存在 0( ) 0Fx ?使 ，即 返回 后頁 前頁 任意的實(shí)數(shù) r, f (x)= r 至多有有限個(gè)解 . 證明： 證 00( , ) , ( ) .x a b f x x??只 要 證 在 點(diǎn) 連 續(xù) 對 任 意0 , ,? ? 由 條 件 方 程??? )()( 0xfxf ??? )()( 0xfxf與 的解至多為有限個(gè) . 例 5 設(shè) 在區(qū)間 ( , )ab內(nèi)滿足介值性 ,并且對于 ()fx 在 內(nèi)連續(xù) . ),( ba()fx返回 后頁 前頁 1. 12{ , , , } ,nx x x設(shè) 這 有 限 個(gè) 解 為 記? ?1 0 2 0 0m in | | , | | , , | | ,nx x x x x x? ? ? ? ?0| | ,xx ???當(dāng) 時(shí)0| ( ) ( ) | .f x f x ???由介值性條件不難證明： .0??顯然xyO??)( 0xf??)( 0xf0x1?nx nx)()( 0xf0x ?? 0x ??返回 后頁 前頁 0| | ,xx ???當(dāng) 時(shí)0| ( ) ( ) | ,f x f x ???0( ) .f x x在 點(diǎn) 連 續(xù)即 2. 如果解為空集 , 任意取 ,0?? 0( 。 ) ( , ) ,U x a b? ?返回 后頁 前頁 證 不妨設(shè) f (x) 嚴(yán)格增 , 那么 )](,)([ bfaf 就是反 上連續(xù) , 且 與 f (x) 有相同的單調(diào)性 . )(1 xf ?定理 若函數(shù) f (x) 在 ab[ , ] 上嚴(yán)格單調(diào)且連續(xù) , 1 ( ) [ ( ) , ( ) ]y f x f a f b?? 在f b f a[ ( ) , ( ) ]或則反函數(shù) 三、反函數(shù)的連續(xù)性 函數(shù) 的定義域 . )(1 yfx ??1 ( ) [ ( ) , ( ) ]x f y f a f b?? 在 上 嚴(yán) 格 增1. (證明見定 理 ). 返回 后頁 前頁 2. 1 ( ) [ ( ) , ( ) ] .x f y f a f b?? 在 上 連 續(xù)(如圖所示 ) .0 bxa ??則),()( 0 bfyaf ?? ,)( 010 yfx ??令,0y對于任意O xya b()fa()fb0x0y① 每一 ② 對應(yīng) 1y2y0x ?? 0x ??③ 任給 ⑤ 取 ? ?m i n 2 0 0 1,y y y y? ? ??④ 對應(yīng) 返回 后頁 前頁 ),()()( 21111 yfyfyf ??? ??.)()( 0101 ?? ???? ?? yfyyf即時(shí)，當(dāng) )()( 2020 yyyyy ?????? ??請讀者類似地證明該函數(shù)在端點(diǎn)的連續(xù)性 . ? ?1 ( ) ( ) , ( )x f y f a f b?? 在這就說明了 上連續(xù) . ,)(,)( 0201 ?? ???? xfyxfy,0},m i n { 1002 ???? yyyy?令設(shè), 00 bxxa ????? ???對于任意的正數(shù) 返回 后頁 前頁 且嚴(yán)格增 . 關(guān)于其它的反三角函數(shù) ,c otar c,ar c t an,ar c c os xyxyxy ???均可得到在定義域內(nèi)連續(xù)的結(jié)論 . 例 6 ( ) si n 22f x x ?????? ????由 于 在 ， 上 連 續(xù) 且 嚴(yán) 格 增 ， 因此它的反函數(shù) a r c s in [ 1 , 1 ]yx?? 在上也是連續(xù) 嚴(yán)格增 . 例 7 ( ) [ 0 )ny x n? ? ?由 于 為 正 整 數(shù) 在 ， 上連續(xù)且嚴(yán) 在 上亦為連續(xù)且 nxy 1?格增 , 那么其反函數(shù) ),0[ ??返回 后頁 前頁 在本節(jié)中，我們將介紹一致連續(xù)性這個(gè)及其重要 12| ( ) ( ) | ,f x f x ???只要 就有 12| | ,xx ??? 四、一致連續(xù)性 任意的正數(shù) 0?? 0?? , 使得對任意 ,存在 1 , 2 ,x x I?定義 2. 設(shè) 為定義在區(qū)間 I上的函數(shù) , 如果對于 ()fx則稱 在區(qū)間 I上一致連續(xù) . ()fx的概念 . 返回 后頁 前頁 首先來看兩個(gè)例題 . 例 8 ( ) [ 1 , ) .f x x? ? ?證明 在 上一致連續(xù)證 有因?yàn)閷θ我獾?,),1[, 21 ???xx|,||||| 12211221 xxxxxxxx ??????0 , ,? ? ???所以對任意的正數(shù) 只要取 當(dāng)12||xx ??? 時(shí) ，1 2 2 1| | | | ,x x x x ?? ? ? ?[ 1 ) .x ??所 以 在 ， 上 一 致 連 續(xù)返回 后頁 前頁 證 首先我們根據(jù)一致連續(xù)的定義來敘述 f (x) 在區(qū) 例 9 1 ( 0 , 1 ) .y x?證明 在 內(nèi)不一致連續(xù)1 2 1 2, , | | ,x x I x x ?? ? ?雖 然但仍有 .|)()(| 021 ??? xfxf1 , ( 0 , 1 )yxx??現(xiàn)在來驗(yàn)證函數(shù) 確實(shí)不是一致 連續(xù)的 . 0 0 , ( )? ? ??存在 對任意正數(shù) 無論 多么小，總有 間 I上不一致連續(xù)的定義： 返回 后頁 前頁 ),21(1 ?? ??? ，對任意正數(shù)取1 2 1 2, , | | ,2x x x x???? ? ? ?令 雖.111112??? ?xx但1 ( 0 , 1 ) .yx?這 就 說 明 在 內(nèi) 不 一 致 連 續(xù)1x2x 1 xyO試問 , 函數(shù) 在區(qū)間 I上一致連續(xù)與 在區(qū) ()fx()fx間 I上連續(xù)的區(qū)別究竟在哪里？ 返回 后頁 前頁 僅與 ? ? 有關(guān) . 01 ( 0 , 1 ) ,yxx??比 如 在 連 續(xù) 對于任意正數(shù) ? , 所得 [ 1 )yx? ? ?已 證 得 在 ， 上 一 致 連 續(xù) . 這 是 由 于答 :(1) 首先 , 對于 ,0?? 如果 在區(qū)間 I上連續(xù)， ()fx0x 有 關(guān) ,那么 , 不僅與 ? 有關(guān) , 而且還與所討論的點(diǎn) ?).,( 0 ??? x?即 而 在區(qū)間 I上一致 連續(xù) . 那么 ()fx,2,2mi n 020 ??????? xx ?? 0x? ,它 與 都 有在例 8中 顯然 關(guān) . 返回 后頁 前頁 0,.x? ? ?? 與 無關(guān)),( 0x??? ?? 有時(shí)當(dāng) ,|| 0 ??? xx.|)()(| 0 ??? xfxf 過程中有一個(gè)正下界 (當(dāng)然 00( , )xx??若 在 的 變 化(2) 函數(shù) f (x) 在每一點(diǎn) 連續(xù) , Ix ?0 ,0???下述定理是連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的又一整體性質(zhì) . 區(qū)間 I上就一致連續(xù)了