函數(shù)的聯(lián)系性連續(xù)函數(shù)的概念(存儲(chǔ)版)
【正文】 小 值0 ()x 稱 為 最 大 小 值0( ) ( ) ( ) .f x f x D稱 為 在 上 的 最 大 小 值點(diǎn) , 返回 后頁 前頁 的最大值不存在 ,最小值為零 .注意 : ][ xxy ??既無最大值 ,又無最小值 . 22yx?? π πsin ( , )在 上定理 （最大、最小值定理） ()fx若 函 數(shù) 在 閉 區(qū)[ , ]ab間 上連續(xù)， ( ) [ , ] .f x a b則 在 上有最大、最小值xy sgn?例如 ,符號(hào)函數(shù) 的最大值為 1,最小值為 1。 xy s i n?正弦函數(shù) 的最大值為 1,最小值為 1。f x x在 點(diǎn) 無 定 義 或 者 在 點(diǎn) 的 極 限 不 存 在等于 f (x0). 0( ii ) ,fx在 點(diǎn) 有 定 義 且 極 限 存 在 但 極 限 值 卻 不根據(jù)上面的分析 , 我們對(duì)間斷點(diǎn)進(jìn)行如下分類： 1. 可去間斷點(diǎn) : 若 0li m ( ) ,xx f x A? ? 存 在0fx而 在 點(diǎn)0, ( ) ,f x A?無定義 或者有定義但 0xf則 稱 是 的一個(gè)可去間斷點(diǎn) . 返回 后頁 前頁 2. 跳 躍 間 斷 點(diǎn) ： 若,)(l i m0Axfxx ???0l i m ( )xx f x B?? ?0xf則稱點(diǎn) 為 的一個(gè)跳躍間斷,AB?都存在 但注 x0 是 f 的 跳躍間斷點(diǎn)與函數(shù) f 在點(diǎn) x0 是 否有定 點(diǎn) . 3. 第二類間斷點(diǎn) : 若 f 在點(diǎn) x0 的左、右極限至少 可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為 第一類間斷 點(diǎn) . 義 無關(guān) . 0 .xf則 稱 是 的 一 個(gè) 第 二 類 間 斷 點(diǎn)有一個(gè)不存在 , 返回 后頁 前頁 證 因?yàn)? .一個(gè)可去間斷點(diǎn)例 3 處不連續(xù)，在 0?x??????0001)(xxxf試證函數(shù)0 ( )x f x? 是 的所以 并且 是 的一個(gè)可去間斷點(diǎn) . 0x ? ()fx1xyO0l i m ( ) 1 ( 0 ) ,x f x f? ??返回 后頁 前頁 00( ) ( ) .A g x x F x?在 時(shí) ， 恒 為 的 一 個(gè) 可 去 間 斷 點(diǎn)那么函數(shù)注 0( ) ,g x x x?對(duì) 于 任 意 函 數(shù) 若 它 在 處 連 續(xù) ，1. 00( ) ,(),g x x xFxA x x???? ??返回 后頁 前頁 0()f x x義 在 點(diǎn) 的 值 為),(lim0xfxx ? 那 么 它 就 在 點(diǎn)例 4 討論函數(shù) 1/1, 0,e1()00,x xfxx????? ?? ??在 x ? 0 處 是否連續(xù)？若不連續(xù)，則是什么類型的 x0是 的可去間斷點(diǎn) ,那么只要重新定 ()fx x0 連續(xù) . 間斷點(diǎn)？ 返回 后頁 前頁 10011li m ( ) li m li m 0 ( 0 ) ,e1e1 yyxx xf x f?? ? ? ???? ? ? ???所以 f (x) 在 x ? 0 處右連續(xù)而不 左連續(xù) ,從而不 10011li m ( ) li m li m 1 ( 0 ) ,e1e1 yyxx xf x f?? ? ? ???? ? ? ???解 因?yàn)? 斷點(diǎn)是跳躍間斷點(diǎn) . 連續(xù) . 既然它的左 、 右極限都存在 ， 那么這個(gè)間 返回 后頁 前頁 例 5 10 ( ) sinx f x x??試 問 是 函 數(shù) 的 哪 一 類 間 斷解 因?yàn)橛蓺w結(jié)原理可知， 0011lim sin lim sinxxxx????與均不存在， 0 ( ) .x f x?所以 是 的一個(gè)第二類間斷點(diǎn)點(diǎn)？ 返回 后頁 前頁 三、區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) 若函數(shù) f 在區(qū)間 I上的每一點(diǎn)都連續(xù) ,則稱 f 為 I )(, 為正整數(shù)nxycy n?? xy sin?例如 , 以及 21 xy ??都是 R上的連續(xù)函數(shù)；而函數(shù) 是區(qū)間 1,1 ??? xx[1,1]上的連續(xù)函數(shù) ,在 處的連續(xù)分 別指右連續(xù)和左連續(xù) . 數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)是指相應(yīng)的左連續(xù)或右連續(xù) . 上的連續(xù)函數(shù) .對(duì)于閉區(qū)間或半閉區(qū)間的端點(diǎn) ,函 返回 后頁 前頁 如果函數(shù) f 在 [a,b]上的不連續(xù)點(diǎn)都是第一類的 , : ( ) 0 .x D x x ?試 證 僅 在 處 連 續(xù)復(fù)習(xí)思考題 能要添加或改變某些分段點(diǎn)處的值 ). 是由若干個(gè)小區(qū)間上的連續(xù)曲線合并而成 (當(dāng)然可 一個(gè)按段連續(xù)函數(shù) .從幾何上看 ,按段連續(xù)曲線就 并且不連續(xù)點(diǎn)只有有限個(gè) ,那么稱 f 是 [a,b]上的 返回 后頁 前頁 167。函數(shù) (其上確界為 1, 下確界為 1 ) 這個(gè)定理刻畫了閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的一個(gè)深刻的 返回 后頁 前頁 推論 )(,],[)( xfbaxf 則上連續(xù)在閉區(qū)間若函數(shù).],[ 上有界在 ba( 0 , 1 ) .在 上 無 界()fx函數(shù) 有最大、最小這是因?yàn)橛啥ɡ? 可知 , 值 , 從而有上界與下界 ,于是 f (x) 在 [a, b] 上 是有 1( ) , ( 0 , 1 )f x xx??函 數(shù) 雖然也是連續(xù)函數(shù) ,但是 內(nèi)涵 ,在今后的學(xué)習(xí)中有很廣泛的應(yīng)用 . 界的 . 返回 后頁 前頁 這說明定義在開區(qū)間和閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的性 定理 （介值性定理） ],[)( baxf 在閉區(qū)間設(shè)函數(shù)( ( ) ( ) ( ) ( ) ) ,f a f b f b f a??? ? ? ?間 的 任 一 數(shù) 或.)( 0 ??xf.)()( bfaf ?且 ( ) ( )f a f b?若 是 介 于 與 之上連續(xù) , 使得,),(0 bax ?則 (至少 )存在一點(diǎn) 質(zhì)有著根本的區(qū)別 . 返回 后頁 前頁 從幾何上看 ,當(dāng)連續(xù)曲線 從水平直線 ()y f x? y ??的一側(cè)穿到另一側(cè)時(shí) , 兩者至少有一個(gè)交點(diǎn) . ()y f x??yxo)(af)(bf?a b0x返回 后頁 前頁 推論 （ 根的存在性定理） ,],[)( 上連續(xù)在若 baxf0)( 0 ?xf應(yīng)當(dāng)注意 , 此推論與定理 . 于是 , 只要 則至少存在一點(diǎn) ,0)()( ?? bfaf ,0x 使 下面用確界定理來證明上述推論 , 大家要注意學(xué)習(xí) 證明了推論 ,
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