復(fù)變函數(shù)與積分變換解析函數(shù)的概念(存儲(chǔ)版)
【正文】 ( ( ) 0 )w f z z f z f z z z z z???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?解析函數(shù)的 CR條件 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換121 2 2 11221( ) ( ) ( ) ( )()u i v a ib x i y i x i ya x b y x y i b x a y x yu a x b y x yv b x a y x y??? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ??復(fù) 數(shù) 相 等 條 件0 1 2( ) , , , ( ) ,f z a i b z x i y w u i v z i? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?令 則復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換1 2 1 222122 2 2 212|| || ( ) ( )| | | | | | | |( ) ( ) ( ) ( ) | | | |x y x yz xyxyx y x y? ? ? ?????? ? ? ? ? ??? ? ? ?????? ? ? ? ? ???又12121 2 2 10 ( ) 0 0 , 0 0 , 0( ) | |? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?當(dāng) 時(shí) , 等 價(jià) 于時(shí) ,故 同 理 是 比 更 高 階 的 無(wú) 窮 小 .z z ixyx y x y z復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換處可微且在該點(diǎn)處有在點(diǎn)和式等價(jià)于義知由二元實(shí)函數(shù)微分的定),(),(),(00 yxyxvyxu，,x y y xu v a u v b? ? ? ?? ? ? ? ? ?()f z u i v??此 即 為 函 數(shù) 在 點(diǎn) 可 導(dǎo) 的必 要 條 件 （ 也 是 點(diǎn) 解 析 的 必 要 條 件 ）復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換 方程 稱為 柯西 —— 黎曼 (Cauchy— Riemann)方程 (簡(jiǎn)稱 CR方程 ) ,u v u vx y y x? ? ? ?? ? ?? ? ? ? 反之，我們自然要問是否滿足以上條件的函數(shù)必在點(diǎn)可導(dǎo)呢？ 事實(shí)上，該條件也是充分的，于是有 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換0 0 0 0 0 0 0 00 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )( ) | | | |x y x y x y x yu v u uf z i ix x x y? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?00 0 0( ) ( , ) ( , )( , ) ( , )f z u x y i v x y zu x y v x y z x i yCR??? ? ??定理 函數(shù) 在點(diǎn) 可導(dǎo)二元函數(shù) 和 在 點(diǎn)處處可微且滿足 方程。zf，Dyxivyxuzf：?????為常數(shù) 為常數(shù) 是常數(shù)則一 且滿足下列條件之內(nèi)解析在區(qū)域如果證明例( 1 ) ( ) 0 0 , 0 , ( )u u v vfzx y x yu v f z? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?證 明 ： 由 導(dǎo) 數(shù) 表 達(dá) 式 知 所 以 為 常 數(shù) 。拓展練習(xí) c o s , s in , ( , ) , ( , )x r y r u u x y v v x yCR??? ? ? ??解 設(shè)由 復(fù) 合 函 數(shù) 的 求 導(dǎo) 法 則 與 直 角 坐 標(biāo) 下 條 件 可 得yuc o
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