【正文】 Fourier 變換的 定義 , 以及 d 函數(shù)的性質(zhì) , 可 得 證 運行下面的 MATLAB語句 . symst w D=sym(39。Heaviside(t)39。F=fourier(f)F =exp(t_0^2)*pi^(1/2)*exp(i*t_0*w)*exp(t_0^21/4*w^2) r=simple(F) r =pi^(1/2)*exp(i*t_0*w1/4*w^2)22 4 .tee?? ???? ???F例 222 2 4 ( 0 ) .bx be e bb ?? ???? ????F例 計算 和 2 0c o stet??????F 2 0sin .tet??????F根據(jù) 解 運行下面的 MATLAB語句 . symst w a % 輸入 a代替 w_0,否則發(fā)生混淆 ,出現(xiàn)錯誤 f=exp(t^2)*cos(a*t)。 h=sym(39。)。 Fourier變換的概念與性質(zhì) 3 d函數(shù)的 Fourier變換 Fourier變換的定義 Fourier積分定理 設 f (x)在 滿足下列 ( , )?? ??條件 : (1) f (x)在任何有限區(qū)間上滿足展開為 Fourier 級數(shù)的條件 , 即只存在有限個第一類間斷點和有限 個極值點； (2) f (x)在 上絕對可積 , 即 ( , )?? ?? ( ) df x x?????收斂 . 則在 f (x)的連續(xù)點處 1( ) d ( ) d ,2i x i tf x e f t e t?????? ?? ??? ??? ??而在 f (x)的間斷點處 ( 0 ) ( 0 ) 1 d ( ) d .22i x i tf x f x e f t e t?????? ?? ??? ??? ? ? ? ??定義 設 f (t)和 F(?)都是在 上絕對 ( , )?? ??可積函數(shù)，稱 ( ) ditf t e t??? ????為 f (t)的 Fourier變換 ，稱 1 ( ) d2itFe ?????????為 F(?)的 Fourier逆變換 , 記為 和 [ ( )]ftF 1 [ ( ) ] ,F ??F[ ( ) ] ( ) d ,itf t f t e t??? ???? ?F 1 1[ ( ) ] ( ) d .2itF F e ?? ? ???????? ?F如果 f (t)滿足 Fourier積分定理條件 , 那么在 f (t) 的連續(xù)點處成立 Fourier變換的反演公式 ? ?1( ) [ ( ) ] .f t f t?= F F例 設 求 22( ) ( 0 ) ,bxf x e b???[ ( )].fxF2222 2[ ( ) ] d dixbxb x i x bf x e x e x??????? ? ? ? ???? ??? ? ? ?????F2 2 2222442 2 4 4 diib x xb b bex? ? ???? ? ? ????? ????? ?22222 24 x i bbe e x?? ????? ????????? ?根據(jù)定義，有 解 運行下面的 MATLAB語句 . symsx w。symsbeta positive f=exp(beta*abs(t))。 p=E*gE*h。f(t)39。F=fourier(f)F =1/(beta+i*w)^2例 求 , 0( ) ( 0 ) 0, t 0tetft ? ??? ???? ??的 Fourier變換 .0[ ( ) ] dt i tf t e e t???? ??? ?F()0 i?? ???? ???? ??tf (t)o1根據(jù) Fourier變換的定義解 運行下面的 MATLAB語句 . symst w。 % 調(diào)用 Dirac函數(shù) F=fourier(D)F =1 ifourier(sym(39。G=fourier(g)G =exp(i*t_0*w)根據(jù) Fourier變換的定義以及 d 函數(shù)的性質(zhì) , 00[ ( ) ] ( ) ditt t t t e t?dd ?? ???? ? ??F0 0 0() [ ( ) ] ,i t i t i te e e t? ? ? d? ? ?? ? ? F1001[ ( ) ] ( ) d2ite ?d ? ? d ? ? ???????? ? ??F01 ,2ite ???即 0 0[ 1 ] 2 ( ) .ite ? ? d ? ????F例 計算 和 0[c o s ]t?F 0[ s in ] .t?F解 運行下面的 MATLAB語句 . symst w a % 輸入 a代替 w_0,否則發(fā)生混淆 ,出現(xiàn)錯誤 f=cos(a*t)。)。*k。mk=m39。fourier(diff(y,t,5))ans=i*w^5*fourier(f(t),t,w)2222 ( ) [ ( , ) ] ( , ) .u i u x y U yx ? ? ???? ? ? ??????FF又因為 2 2 22 2 2( , ) ( , )d,ixu u x y U yexy y y? ??? ?????? ? ?????? ? ??? ?F故對 Laplace方程兩端取 Fourier變換 , 得 2 0,yyUU???這是一個以 ?為參數(shù)的二階常微分方程 , 求其解為 ( , ) ( ) ( ) .yyU y A e B e??? ? ? ???由于 時 可知 所以 y ?? 0,u ? ( , ) 0 .Uy? ?當 ? 0時 , ( ) 0 , ( ) ( , 0 ) 。 Fk=J*WmkFk= + 快速 Fourier變換 快速 Fourier變換 (FFT)是 DFT的快速算法 , 其 運算次數(shù)比按 DFT的定義直接計算顯著減少 . 考慮 DFT定義中變換矩陣 0 0 0 00 1 1 2 1 ( 1 ) 10 1 ( 1 ) 2 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ),NN N N NW W W WW W W WW W W W? ? ? ?? ? ? ? ? ? ???????矩陣中的元素 具有周期性 , 即 nkW( ) ( ) ,n k n k N n N kW W W????并且當 N為偶數(shù)時 , 222 .NNki kkNW W e W???? ? ?下面設 (? 為正整數(shù) ), 2N ??( ) ( 0 , 1 , 2 , , 1 )f n n N??是長度為 N的序列 . 為表示方便 , 相應于序列的長度 , 下面記矩陣中的元素為 于是在 DFT中按 n為偶 .nkNW數(shù)或奇數(shù)分解成兩部分之和 , 即 10( ) ( )NnkNnF k f n W??? ?11222 ( 2 1 )00( 2 ) ( 2 1 ) ,NNrk r kNNrrf r W f r W?????? ? ???11222200( ) ( 2 ) ( ) ( 2 1 ) ( )NNrk k rkN N NrrF k f r W W f r W????? ? ???? )0 , 1 , 2 , , 1 . kN??由于 所以 22 22 /2 /2 ,ii NNNNW e e W?? ???? ? ?1122/ 2 / 200( ) ( 2 ) ( 2 1 )NNrk k rkN N NrrF k f r W W f r W????? ? ???? )0 , 1 , 2 , , 1 .kN??記 1122/ 2 / 200( ) ( 2 ) , ( ) ( 2 1 )NNrk rkNNrrG k f r W H k f r W????? ? ???? )0 , 1 , 2 , , 1 ,kN??于是 ? )( ) ( ) ( ) 0, 1 , 2, , 1 .kNF k G k W H k k N? ? ? ?因為 具有周期性 , 所以 nkNW( ) , ( ) ,22NNG k G k H k H k? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?2 0, 1 , 2, , 1 ,2NkkNNNW W k? ??? ? ? ?????因此只需在 時計算 0 , 1 , 2 , , 12Nk ??( ) , ( ) .G k H k這表明求長度為 N的序列 DFT可分解為求兩個 長度為 N /2的序列 DFT. 對 又可以按 r為偶數(shù)或奇數(shù) , 分解 ( ) , ( ) ,G k H k為求四個長度為 N /4的序列 DFT, 并且在計算時可以 應用周期性 . 最終分解為求 個長度為 1的序列 2N ??DFT. 下面以 N=8的 DFT為例 , 如果直接進行 DFT, 為 求 F(k)的每一個值 , 需要做 8次復數(shù)乘法和 7次復數(shù) 加法運算 . 計算 F(k)的 8個值 , 就需要做 64次復數(shù)乘法 和 56次復數(shù)加法運算 . 因此 , 計算 N個點的 DFT, 需要 N2次復數(shù)乘法和 N(N1)次復數(shù)加法運算 . 隨著 N的增加 , 直接進行 DFT的計算量急劇增加 . 如果利用 FFT, 則有 08182838( 0 ) ( 0 ) ( 0 )( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( 2 ) ( 2 ) ( 2 )( 3 ) ( 3 ) ( 3 )F G W HF G W HF G W HF G W H????????48586878( 4 ) ( 4 ) ( 4 )( 5 ) ( 5 ) ( 5 )( 6 ) ( 6 ) ( 6 )( 7 ) ( 7 ) ( 7 )F G W HF G W HF G W HF G W H????????其中 都是長度為 4的 DFT, 并且 ( ) , ( )G k H k( 4 ) ( ) , ( 4 ) ( ) ,G k G k H k H k? ? ? ?再考慮到 所以可簡化運算 . 488 ( 0 3 ) ,kkW W k? ? ? ? ?08182838( 0 ) ( 0 ) ( 0 )( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( 2 ) ( 2 ) ( 2 )( 3 ) ( 3 ) ( 3 )F G W HF G W HF G W HF G W H????????08182838( 4 ) ( 0 ) ( 0 )( 5 ) ( 1 ) ( 1 )( 6 ) ( 2 ) ( 2 )( 7 ) ( 3 ) ( 3 )F G W HF G W HF G W HF G W H????????不變 簡化 其運算量為復數(shù)乘法 次 , 復數(shù)加 2lo g 1 22N N ?法 次 . 隨著 N的增加 , FFT計算量的增 2l o g 2 4NN ?加要比直接進行 DFT計算量的增加要少得很多 .