【正文】 ( )]nnnnab nn????? ? ???收斂 . 收斂 ,是絕對收斂還是條件收斂 ? (1) 2111inn n????? (2)11 5i()2 nn???? (3) π1einn n??? (4) 1ilnnn n??? (5) 0cosi2nnn??? 解 (1) 211 1 11 i 1 ( 1 ) i 1 ( 1 ) in n nn n nn n n n?? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? 因?yàn)?1n n???發(fā)散 ,所以 2111inn n????? 發(fā)散 (2)111 5 i 2 6()22n nnn????? ???發(fā)散 又因?yàn)?1 5 i 1 5l im ( ) l im ( i) 02 2 2nnnn? ? ? ?? ? ? ? 所以11 5i()2 nn???? 發(fā)散 (3) πi11e1nnnnn???????發(fā)散 ,又因?yàn)棣? 1 1π πc os i si ne1 π π( c os i si n )inn n nnnn n n n n? ? ?? ? ??? ? ?? ? ?收斂 ,所以不絕對收斂 . (4) 11i1ln lnnnnnn??????? 復(fù)變函數(shù)與積分變換（修訂版）課后答案（復(fù)旦大學(xué)出版社） 27 / 68 因?yàn)?11ln 1nn? ? 所以級(jí)數(shù)不絕對收斂 . 又因?yàn)楫?dāng) n=2k時(shí) , 級(jí)數(shù)化為1( 1)ln2kk k???? 收斂 當(dāng) n=2k+1時(shí) , 級(jí)數(shù)化為1( 1)ln(2 1)kk k??? ?? 也收斂 所以原級(jí)數(shù)條件收斂 (5) 0 0 0 0c o s i 1 e e 1 e 1 1( ) ( )2 2 2 2 2 2 2nn nnnnn n n nn e?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? 其中0e()2nn??? 發(fā)散 ,01()2 nn e???收斂 所以原級(jí)數(shù)發(fā)散 . :若 Re( ) 0na ? ,且1 nn a???和 21 nn a???收斂 ,則級(jí)數(shù) 21 nn a???絕對收斂 . 證明 :設(shè) 2 2 2 2i , ( i ) 2 in n n n n n n n n na x y a x y x y x y? ? ? ? ? ? ? 因?yàn)?nn a???和 21 nn a???收斂 所以 21 1 1 1, , ( ) ,n n n n n nn n n nx y x y x y? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?收斂 又因?yàn)?Re( ) 0na ? , 所以 0nx? 且 2lim lim 0nnnnxx?? ???? 當(dāng) n充分大時(shí) , 2nnxx? 所以 21 nn x???收斂 2 2 2 2 2 22 ( )n n n n n na x y x x y? ? ? ? ? 而 212nn x???收斂， 221 ()nnn xy?? ??收斂 所以 21 nn a???收斂，從而級(jí)數(shù) 21 nn a???絕對收斂 . 10()nnn zz? ?? ??的斂散性 復(fù)變函數(shù)與積分變換（修訂版）課后答案（復(fù)旦大學(xué)出版社） 28 / 68 解 因?yàn)椴糠趾?110 ( ) 1n k k nn ks z z z???? ? ? ?? ，所以， 1 , 1nzs? ? ?當(dāng) 時(shí) 1 , 0nzs??當(dāng) 時(shí) ， 1,nzs??當(dāng) 時(shí) 不存在 . 當(dāng) iez ?? 而 0?? 時(shí)（即 1, 1zz ??）， cosnθ 和 sinnθ 都沒有極限 ,所以也不收斂． , nzs??當(dāng) 1時(shí) . 故當(dāng) 1z? 和 1z? 時(shí) , 10 ()nnn zz? ?? ??收斂 . 0 ( 2)nnn Cz?? ??能否在 z=0處收斂而在 z=3處發(fā)散 . 解： 設(shè) 1lim nn nCC ???? ?，則當(dāng) 12z ??? 時(shí)，級(jí)數(shù)收斂， 12z ??? 時(shí)發(fā)散 . 若在 z=0處收斂 ,則 1 2?? 若在 z=3處發(fā)散 , 則 1 1?? 顯然矛盾 ,所以冪級(jí)數(shù)0 ( 2)nnn Cz?? ??不能在 z=0處收斂而在 z=3處發(fā)散 ?為什么 ? (1)每一個(gè)冪級(jí)數(shù)在它的收斂圓周上處處收斂 . (2) 每一個(gè)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在它的收斂圓內(nèi)可能有奇點(diǎn) . 答 : (1) 不正確 ,因?yàn)閮缂?jí)數(shù)在它的收斂圓周上可能收斂 ,也可能發(fā)散 . (2) 不正確 ,因?yàn)槭諗康膬缂?jí)數(shù)的和函數(shù)在收斂 圓周內(nèi)是解析的 . 0nnn Cz???的收斂半徑為 R,求0nnnnC zb???的收斂半徑。 (3) 沿單位圓周 |z|=1 的右半圓周，從點(diǎn) i 到點(diǎn) i. 解 (1)設(shè) z iy? . 11y? ? ? 復(fù)變函數(shù)與積分變換（修訂版）課后答案（復(fù)旦大學(xué)出版社） 20 / 68 11C z d z yd iy i yd y i??? ? ?? ? ? (2)設(shè) ize?? . ? 從 32? 到 2? 223312iiCz d z d e i d e i????? ? ?? ? ? (3) 設(shè) ize?? . ? 從 32? 到 2? 23212iCz dz de i? ?????? 6. 計(jì)算積分 ? ?sinzC z e z dz??? ,其中 C 為 0za?? . 解 ? ?sin sinzzC C Cz e z d z z d z e z d z? ? ? ? ?? ? ? ∵ sinzez? 在 za? 所圍的區(qū)域內(nèi)解析 ∴ sin 0zC e zdz??? 從而 ? ? 20220sin0ziCCiz e z dz z dz ada ea i e d? ?? ? ?? ? ? ???? ? ?? 故 ? ?sin 0zC z e z dz? ? ?? 7. 計(jì)算積分 21( 1)C dzzz?? ,其中積分路徑 C 為 （ 1） 1 1: 2Cz? （ 2） 2 3: 2Cz? （ 3） 3 1: 2C z i?? （ 4） 4 3: 2C z i?? 解：（ 1）在 12z? 所圍的區(qū)域內(nèi)， 21( 1)zz?只有一個(gè)奇點(diǎn) 0z? . 121 1 1 1 1 1( ) 2 0 0 2( 1 ) 2 2CCd z d z i iz z z z i z i ??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ??? （ 2）在2C 所圍的區(qū)域內(nèi)包含三個(gè)奇點(diǎn) 0,z z i? ?? .故 221 1 1 1 1 1( ) 2 0( 1 ) 2 2CCd z d z i i iz z z z i z i ???? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ??? （ 3）在2C 所圍的區(qū)域內(nèi)包含一個(gè)奇點(diǎn) zi?? ,故 復(fù)變函數(shù)與積分變換（修訂版）課后答案（復(fù)旦大學(xué)出版社） 21 / 68 321 1 1 1 1 1( ) 0 0( 1 ) 2 2CCd z d z i iz z z z i z i ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ??? （ 4）在4C 所圍的區(qū)域內(nèi)包含兩個(gè)奇點(diǎn) 0,z z i??,故 421 1 1 1 1 1( ) 2( 1 ) 2 2CCd z d z i i iz z z z i z i ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ??? 萊布尼茲公式計(jì)算下列積分 . (1) 20 cos2i zdz??? (2) 0 zie dz? ??? (3) 21 (2 )i iz dz?? (4) 1 ln( 1)1i z dzz ??? (5) 10 sinz zdz?? (6) 211 tancosi zdzz?? 解 (1) 2 200 1c o s s in 2 12 2 2i izzd z c h? ?? ???? (2) 0 0 2zz ii e dz e ?? ?? ?? ? ? ? ?? (3) 2 2 3 111 1 1 1 1 1( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )3 3 3ii i iiz d z iz d iz izii? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? (4) 222111l n ( 1 ) 1 1l n ( 1 ) l n ( 1 ) l n ( 1 ) ( 3 l n 2 )1 2 8 4ii iz d z z d z zz ?? ? ? ? ? ? ? ? ???? (5) 1 1 1100 0 0s in c o s c o s c o s s in 1 c o s 1z z d z z d z z z z d z? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? (6) 2 2 21121 1 1221 ta n 1se c se c ta n ta nc o s 211 1ta n 1 ta n 1 t 122i i i iiz d z z d z z zd z ta n z zzithh? ? ? ? ???? ? ???????? ? ?11. 計(jì)算積分 2 1zCe dzz ?? ,其中C 為 (1) 1zi?? (2) 1zi?? (3) 2z? 解 (1) 2 21 ( ) ( )z z z iziCCe e ed z d z i ez z i z i z i?? ?? ? ? ?? ? ? ??? (2) 2 21 ( ) ( )z z z iziCCe e ed z d z i ez z i z i z i?? ???? ? ? ? ?? ? ? ??? (3) 122 2 2 2 s in 11 1 1z z z iiC C Ce e ed z d z d z e e iz z z ? ? ??? ? ? ? ?? ? ?? ? ? 復(fù)變函數(shù)與積分變換（修訂版）課后答案（復(fù)旦大學(xué)出版社） 22 / 68 16. 求下列積分的值 ,其中積分路徑 C 均為 |z|=1. (1) 5zCedzz? (2) 3cosC zdzz? (3) 020tan 12 ,( ) 2Cz dz zzz ??? 解 (1) ( 4 ) 05 2 ()4 ! 1 2z z zC e i id z ez ?????? (2) ( 2 ) 03c o s 2 ( c o s )2! zC zid z z iz ? ??? ? ?? (3) 039。 解：設(shè) z=x+yi，則 Re( ) izxz x y? ? 有 00 0R e ( ) 1lim lim i 1 izxy kxzxz x k x k???????? 顯然當(dāng)取不同的值時(shí) f(z)的極限不同 所以極限不存在 . （ 3） 2lim (1 )zizizz? ?? ； 解： 2lim (1 )zizizz? ?? = 11l im l im( ) ( ) ( ) 2z i z iziz i z z i z i z??? ? ? ?? ? ?. （ 4） 21 22lim 1z zz z zz? ? ? ?? . 解：因?yàn)?22 2 ( 2 ) ( 1 ) 2 ,1 ( 1 ) ( 1 ) 1z z z z z z zz z z z? ? ? ? ? ???? ? ? ? 所以 2112 2 2 3l im l im1 1 2zzz z z z zzz??? ? ? ?????. 4. 討論下列函數(shù)的連續(xù)性： (1) 復(fù)變函數(shù)與積分變換（修訂版）課后答案（復(fù)旦大學(xué)出版社） 9 / 68 22, 0 ,()0 , 0 。(2) 。 .2 ii i i ?? ? ? ? ? ①解： 2 i 4 1 5? ? ? ? ?． 2 i 2 i? ? ?? ? ②解： 33?? 33??? ③解： ? ? ? ?2 i 3 2 i 2 i 3 2 i 5 13 65? ? ? ? ? ? ? ?． ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 i 3 2 i 2 i 3 2 i 2 i 3 2 i 4 7 i? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ④解： 1i1 i 22 2 2?? ?? ? ?1i1 1 i2 2 2i ??????????? 證明：當(dāng)且僅當(dāng) zz? 時(shí)， z 才是實(shí)數(shù)． 證明：若 zz? ，設(shè) iz