函數(shù)的聯(lián)系性連續(xù)函數(shù)的概念-全文預(yù)覽
【正文】 上 一 致 連 續(xù)返回 后頁 前頁 證 首先我們根據(jù)一致連續(xù)的定義來敘述 f (x) 在區(qū) 例 9 1 ( 0 , 1 ) .y x?證明 在 內(nèi)不一致連續(xù)1 2 1 2, , | | ,x x I x x ?? ? ?雖 然但仍有 .|)()(| 021 e?? xfxf1 , ( 0 , 1 )yxx??現(xiàn)在來驗證函數(shù) 確實不是一致 連續(xù)的 . 0 0 , ( )e ? ??存在 對任意正數(shù) 無論 多么小，總有 間 I上不一致連續(xù)的定義： 返回 后頁 前頁 ),21(1 ?? ??e ，對任意正數(shù)取1 2 1 2, , | | ,2x x x x???? ? ? ?令 雖.111112??? ?xx但1 ( 0 , 1 ) .yx?這 就 說 明 在 內(nèi) 不 一 致 連 續(xù)1x2x 1 xyO試問 , 函數(shù) 在區(qū)間 I上一致連續(xù)與 在區(qū) ()fx()fx間 I上連續(xù)的區(qū)別究竟在哪里？ 返回 后頁 前頁 僅與 ? e 有關(guān) . 01 ( 0 , 1 ) ,yxx??比 如 在 連 續(xù) 對于任意正數(shù) e , 所得 [ 1 )yx? ? ?已 證 得 在 ， 上 一 致 連 續(xù) . 這 是 由 于答 :(1) 首先 , 對于 ,0?e 如果 在區(qū)間 I上連續(xù)， ()fx0x 有 關(guān) ,那么 , 不僅與 e 有關(guān) , 而且還與所討論的點 ?).,( 0 e?? x?即 而 在區(qū)間 I上一致 連續(xù) . 那么 ()fx,2,2mi n 020 ??????? xx e? 0xe ,它 與 都 有在例 8中 顯然 關(guān) . 返回 后頁 前頁 0,.xe ? ?? 與 無關(guān)),( 0xe?? ?? 有時當(dāng) ,|| 0 ??? xx.|)()(| 0 e?? xfxf 過程中有一個正下界 (當(dāng)然 00( , )xx?e若 在 的 變 化(2) 函數(shù) f (x) 在每一點 連續(xù) , Ix ?0 ,0??e下述定理是連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的又一整體性質(zhì) . 區(qū)間 I上就一致連續(xù)了 . 這個下界只與 e 有關(guān) , 而與 x0無關(guān) ), 則此時 f (x)在 返回 后頁 前頁 上連續(xù) , 則 ],[ baf 在],[ ba 上一致連續(xù) . 這個定理告訴我們 : 定義在閉區(qū)間上的函數(shù) , 連 例 10 設(shè)區(qū)間 1Ι 的右端點為 1Ιc? , 區(qū)間 2Ι 的左端 定理 （一致連續(xù)性定理） 若函數(shù) f 在閉區(qū)間 上一致連續(xù) , )( xf則 在區(qū)間 21 ΙΙ ? 上也一致連續(xù) . ., 2Ιcc ?并且 證明：若 )(xf 分別在 21 , ΙΙ點也為 續(xù)和一致連續(xù)是等價的 . 返回 后頁 前頁 連續(xù)，所以分別存在 使得 ,0,0 21 ?? ??當(dāng) 1 2 1 1 2 1, , | | ,xx Ι xx ?? ? ? 時12| ( ) ( ) | ,f x f x e??當(dāng) 1 2 2 1 2 2, , | |xx Ι xx ?? ? ? 時 ,12| ( ) ( ) | .f x f x e??,0},m i n { 21 ?? ???取 則對于任意的 , 2121 ΙΙxx ??證 對任意的 ,0?e 因為 )(xf 在 21 ,ΙΙ 上一致 1 2 1 2 21 . , , .情 形 或xx Ι xx Ι??此時自然有 12| ( ) ( ) | .f x f x e??有以下兩種情形： 12| | ,xx ???當(dāng) 時返回 后頁 前頁 1 1 2 22 . , .x Ι x Ι??情形 注意到 1 2 1 2, | | , | | ,c Ι Ι x c x c??? ? ? ? ?1 2 1 2| ( ) ( ) | | ( ) ( ) | | ( ) ( ) |f x f x f x f c f x f c? ? ? ? ?可得 .2 eee ???綜上，證得 )(xf 在區(qū)間 21 ΙΙ ? 上一致連續(xù) . 注 例 10的條件 ”“ 21 ΙΙc ?? 是重要的 . 比如 返回 后頁 前頁 ????????32,021,1)(xxxf在區(qū)間 ]2,1[ 與區(qū)間 ]3,2( 上分別一致連續(xù) , 但在 區(qū)間 [1, 3] 上不連續(xù) , 當(dāng)然也不一致連續(xù) . 返回 后頁 前頁 例 11 設(shè) ),[)( ??axf 在 上連續(xù) , 并且 .)(l i m Axfx ????證明 ),[)( ??axf 在 上一致連續(xù) . 證 因為 Axfx ???? )(l i m, 所以對任意的正數(shù) ,0?e存在 有時，當(dāng) XxxaX ?? 21 ,21| ( ) ( ) | .f x f x e??又 ]1,[)( ?Xaxf 在 上連續(xù) , 故由定理 f (x) [ , 1 ]aX ?在 上一致連續(xù) . 因此對上述 e， 存在正數(shù) ,)1( ??? 使對任意 ],1,[, 21 ?? Xaxx返回 后頁 前頁 只要 ??? || 21 xx , 必有 12| ( ) ( ) | .f x f x e??現(xiàn)對任何 1 2 1 2, [ , ) , | | ,x x a x x ?? ? ? ? ?討論如下 . 121 . , [ , 1 ] ,x x a X??情形 自然有12| ( ) ( ) | 。 xy s i n?正弦函數(shù) 的最大值為 1,最小值為 1。返回 后頁 前頁 167。 2 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 在本節(jié)中 ,我們將介紹連續(xù)函數(shù)的局 一、連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì) 四、一致連續(xù)性 三、反函數(shù)的連續(xù)性 二、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 這些性質(zhì)是具有分析修養(yǎng)的重要標(biāo)志 . 部性質(zhì)與整體性質(zhì) .熟練地掌握和運用 返回返回 后頁 前頁 一、連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì) 0xf 在點若函數(shù)所謂連續(xù)函數(shù)局部性質(zhì)就是指 : 連續(xù) (左連續(xù)或右連續(xù) ),則可推知 f 在點 x0 的某 號性、四則運算的保連續(xù)性等性質(zhì) . 個局部鄰域 (左鄰域或右鄰域 )內(nèi)具有有界性、保 返回 后頁 前頁 0| ( ) | | ( ) | 1 .f x f x??0| | ,xx ???當(dāng) 時 0| ( ) ( ) | 1 ,f x f x??故 | f (x) | 的一個明確
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