一致連續(xù)性定理(編輯修改稿)
2025-08-21 23:05 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 存 在 使證 在第四章中 , 我們已經(jīng)用確界定理證明此定理 . 現(xiàn)在用區(qū)間套定理來(lái)證明 . ( ) ( ) , ( ) [ , ] ,F x f x F x a b???設(shè) 則 在 上連續(xù) 并且二、介值性定理 f ( ) .???( ) ( )f a f b?若 是介于 與 之間的一個(gè)f (a) ? f (b). 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 將 [a, b] 等分成兩個(gè)區(qū)間 [a, c], [c, b], 若 F(c)=0, .0)()( ?bFaF下去 , 得到一列閉子區(qū)間 個(gè)區(qū)間的端點(diǎn)上的值異號(hào) . 將這個(gè)過(guò)程無(wú)限進(jìn)行 F(c1)=0, 已證 . 不然同樣可知函數(shù) F(x) 在其中一 將 [a1 , b1] 等分成兩個(gè)區(qū)間 [a1, c1], [c1 , b1], 若 間端點(diǎn)上的值異號(hào) , 將這個(gè)區(qū)間記為 [a1, b1] . 再 已證 . 不然 , 函數(shù) F(x)在這兩個(gè)區(qū)間中有一個(gè)區(qū) 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 11( i ) [ , ] [ , ] , 1 , 2 , 。n n n na b a b n?? ??( ii ) 0 , 。2 nnn bab a n?? ? ? ? ?( i i i ) ( ) ( ) 0 .nnF a F b ?由區(qū)間套定理 , 存在惟一的 [ , ] , 1 , 2 , ,nna b n? ??li m li m . ( )nnnn a b F x??? ? ? ???并且 因?yàn)?在點(diǎn) 連續(xù),20 lim ( ) ( ) ( ( ) ) ,nnn F a F b F ?????所以( ) 0 . :F ? ?即 這也就是說(shuō).)( ??f{ [an , bn] }, 滿足 : 返回 后頁(yè) 前頁(yè) (定理 ) 若函數(shù) f (x) 在 [a ,b]上連續(xù) , 則 f (x) 在 證 (證法一 ) 首先用致密性定理來(lái)證明該定理 . 在 設(shè) f (x) 在 [a,
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