[所有分類]一致收斂性(編輯修改稿)
2025-02-15 13:10 本頁面
【文章內容簡介】 nf x n n x x nnnxn??????? ? ? ? ?????????( 0 ) 0 ,nf由于 ?( 0 )f故 ?? ?l i m ( 0 ) f??0 1 ,x當時 ? 1 ,n x只要 就有( ) 0 ,nfx ?( 0 , 1 ]故 在 上 有( ) l i m ( ) x f x????返回 后頁 前頁 1 , 2 , 3n ?其 中 的圖 像如圖 133 所示 . ( 8 ) [ 0 , 1 ]于是 在 上的極限函數(shù) ( ) 0 .fx ?為 又 由 于[ 0 , 1 ]1su p ( ) ( ) ( ) ,2nnx f x f x f n nn???? ? ? ? ? ? ?????所以函數(shù)列 (8) 在 [0,1] 上不一致收斂 . 13 3?圖 ()fx 11f2f3f121316 14213xyO返回 后頁 前頁 例 4 討論函數(shù)例 222{ ( ) e }, [ 0, 1 ]nxnf x n x x???的一致 收斂性 . 解 為了使用余項準則 , 首先求出函數(shù)列的極限函數(shù) . 易見 222( ) li m ( ) li m e 0, [ 0, 1 ] ,nxnnnf x f x n x x?? ? ? ?? ? ? ?于是 222| ( ) ( 0 ) | e .nxnf x f n x ???222 e nxnx ? [0,1]容易驗證 在 上只有惟一的極大值點 012x n? , 因此為最大值點 . 于是 返回 后頁 前頁 12su p | ( ) ( ) | e2nnf x f x ?? ? ? ? ?根據(jù)余項準則知該函數(shù)列在 [0,1] 上不一致收斂 . 注 222{ ( ) e }nxnf x n x ?? 不一致收斂是因為函數(shù)列余 的增大一致趨于零 0x ? n項的數(shù)值在 附近不能隨 (見圖 134), 因此對任何不含原點的區(qū)間 [ , 1 ] ( 0aa?222{ ( ) e }nxnf x n x ??在該區(qū)間上一致收斂于零 . 1),?返回 后頁 前頁 圖 13 – 4 返回 后頁 前頁 二、函數(shù)項級數(shù)及其一致收斂性 { ( ) }nu x E設 是 定 義 在 數(shù) 集 上 的 一 個 函 數(shù) 列 , 表 達 式12( ) ( ) ( ) , ( 9 )nu x u x u x x E? ? ? ? ?稱為定義在 E上的函數(shù)項級數(shù) , 1()nnux???簡記為 或( ) .nux 稱?1( ) ( ) , , 1 , 2, ( 10 )nnkkS x u x x E n?? ? ??為函數(shù)項級數(shù) (9)的部分和函數(shù)列 . 返回 后頁 前頁 0 ,xE?若 數(shù)項級數(shù)1 0 2 0 0( ) ( ) ( ) ( 1 1 )nu x u x u x? ? ? ?001( ) ( )nnkkS x u x?? ?n ??收斂 , 即部分和 當 時極限 0x 0x存在 , 則稱級數(shù) (9)在點 收斂 , 稱為級數(shù) (9)的收 斂點 . 若級數(shù) (11)發(fā)散 , 則稱級數(shù) (9)在點 0x 發(fā)散 . 若 級數(shù) (9)在 E 的某個子集 D 上每點都收斂 , 則稱級數(shù) (9)在 D 上收斂 . 若 D 為級數(shù) (9)全體收斂點的集合 , 這時就稱 D為級數(shù) (9)的收斂域 . 級數(shù) (9)在 D上每一 返回 后頁 前頁 點 x 與其所對應的數(shù)項級數(shù) (11)的和 ()Sx構成一個 定義在 D 上的函數(shù) , 稱為級數(shù) (9)的和函數(shù) , 并記作 12( ) ( ) ( ) ( ) , ,nu x u x u x S x x D? ? ? ? ? ?即 l i m ( ) ( ) , .nn S x S x x D?? ??也就是說 , 函數(shù)項級數(shù) (9)的收斂性就是指它的部分 和函數(shù)列 (10)的收斂性 . 返回 后頁 前頁 例 5 ( , )? ? ? ?定義在 上的函數(shù)項級數(shù)( 幾何級數(shù))21 , ( 1 2 )nx x x? ? ? ? ?1( ) . | | 11nnxS x xx????的部分和函數(shù)為 當 時,1( ) lim ( ) .1nnS x S x x???? ?1( 1 2 ) ( 1 , 1 ) ( ) 。1Sx x?? ?所 以 幾 何 級 數(shù) 在 收 斂 于| | 1 , .x ?當 時 幾 何 級 數(shù) 是 發(fā) 散 的返回 后頁 前頁 定義 2 { ( ) } ( )nnS x u x?設 是函數(shù)項級數(shù) 的部分和. { ( ) } ( ) ,nS x D S x函數(shù)列 若 在數(shù)集 上一致收斂于 則稱 ( ) ( ) ,nu x D S x函數(shù)項級數(shù) 在 上一致收斂于函數(shù) ?( ) .nu x D?或稱 在 上一致收斂由于函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性是由它的部分和函數(shù) 列來確定 , 所以得到的有關函數(shù)項級數(shù)的定理 . 返回 后頁 前頁 定理 ( 一致收斂的柯西準則 ) 函數(shù)項級數(shù) ()nux? 在數(shù)集 D 上一致收斂的充要條件為 : 對任 , 存在正整數(shù) ? N ,nN 時?給的正數(shù) ，使當 對一切 xD? ,p一切正整數(shù) 都有和 ? ??| ( ) ( ) | ,n p nS x S x ?或 ? ? ?? ? ? ?12| ( ) ( ) ( ) | .n n n pu x u x u x ?此定理中當 p=1 時 , 得到函數(shù)項級數(shù)一致收斂的一 個必要條件 . 返回 后頁 前頁 推論 (函數(shù)項級數(shù)一致收斂的必要條件 ) 函數(shù)
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