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2025-01-16 13:10 本頁面
【正文】 3(21)式 , 在 [α, 2πα]上有 11s i n ( )12| c os |22 s i n2nknxkxx?????例 9 若數(shù)列 單調(diào)且收斂于零 , 則級(jí)數(shù) {}na返回 后頁 前頁 1 1 1 1,222 si n2 si n22x ?? ? ? ?c o s [ , 2 ]nx ? ? ?所 以 級(jí) 數(shù) 的 部 分 和 數(shù) 列 在 上 一??致有界 , 于是令 ( ) c o s , ( ) ,n n nu x nx v x a??一致收斂 . 則由狄利克雷判別法可得級(jí)數(shù) (15)在 上 [ , 2 ]? ? ??注 對(duì)于例 7中的級(jí)數(shù) (15), 只要 單調(diào)且收斂于零 , {}na返回 后頁 前頁 閉區(qū) 間上一致收斂 . 1()ut [ , ]ab例 10 設(shè) 在 上可積 , 1 ( ) ( ) d , 1 , 2, ,xnn au x u t t n? ???11()nnux???? [ , ]ab證明 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 在 上一致收斂 . 1()ut [ , ]ab 0M ?證 因?yàn)? 在 上可積 , 所以存在 , 使 得 1| ( ) |u x M?, 于是有 21| ( ) | | ( ) | d ( ) ,xau x u t t M x a? ? ??級(jí)數(shù) (15)就在不包含 的任何 2 ( 0 , 1 , 2 , )kk? ? ? ?返回 后頁 前頁 232()| ( ) | | ( ) | d ( ) d ,2!xxaaxau x u t t M x a t M ?? ? ? ???由數(shù)學(xué)歸納法容易得到 111| ( ) | | ( ) | d ( ) d!nxxnn aau x u t t M x a tn?? ? ? ???因?yàn)閿?shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 1()!nnbaMn????收斂 , 所以根據(jù)優(yōu)級(jí)數(shù) 判別法知原級(jí)數(shù)在 [ , ]ab上一致收斂 . ( ) ( ) .!!nnx a b aMMnn????返回 后頁 前頁 復(fù)習(xí)思考題 1. 總結(jié)函數(shù)列和函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的判別方法 (不局限于書上現(xiàn)成的判別法 )。nx I v x對(duì)于每一個(gè) 是單調(diào)的?( ii i ) { ( ) } ,nv x I x I在 上一致有界 即對(duì)一切 ?和正整 數(shù) , 存在正數(shù) M, 使得 n| ( ) | ,nv x M?則級(jí)數(shù) (14)在 I 上一致收斂 . 返回 后頁 前頁 12| ( ) ( ) ( ) |n n n pu x u x u x ?? ? ?? ? ? ?又由 (ii),(iii)及阿貝耳引理 (第十二章 167。1Sx x?? ?所 以 幾 何 級(jí) 數(shù) 在 收 斂 于| | 1 , .x ?當(dāng) 時(shí) 幾 何 級(jí) 數(shù) 是 發(fā) 散 的返回 后頁 前頁 定義 2 { ( ) } ( )nnS x u x?設(shè) 是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 的部分和. { ( ) } ( ) ,nS x D S x函數(shù)列 若 在數(shù)集 上一致收斂于 則稱 ( ) ( ) ,nu x D S x函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 在 上一致收斂于函數(shù) ?( ) .nu x D?或稱 在 上一致收斂由于函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性是由它的部分和函數(shù) 列來確定 , 所以得到的有關(guān)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的定理 . 返回 后頁 前頁 定理 ( 一致收斂的柯西準(zhǔn)則 ) 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) ()nux? 在數(shù)集 D 上一致收斂的充要條件為 : 對(duì)任 , 存在正整數(shù) ? N ,nN 時(shí)?給的正數(shù) ，使當(dāng) 對(duì)一切 xD? ,p一切正整數(shù) 都有和 ? ??| ( ) ( ) | ,n p nS x S x ?或 ? ? ?? ? ? ?12| ( ) ( ) ( ) | .n n n pu x u x u x ?此定理中當(dāng) p=1 時(shí) , 得到函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的一 個(gè)必要條件 . 返回 后頁 前頁 推論 (函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的必要條件 ) 函數(shù)項(xiàng)級(jí) 數(shù) ? ()nu x D在 數(shù) 集 上 一 致 收 斂 的 必要條件是函數(shù) { ( )}nux D列 在 上一致收斂于零 . ( ) ( ) ,nu x D S x?設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 在 上的和函數(shù)為 稱( ) ( ) ( )nnR x S x S x??( ) .nux?為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 的余項(xiàng)定理 (余項(xiàng)法則 ) 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) ()nux? 在數(shù)集 D 一致收 ()Sx斂于 的充要條件是li m su p | ( ) | li m su p | ( ) ( ) | x D x DR x S x S x? ? ? ???? ? ?返回 后頁 前頁 0, [ , ] ( 1 )nnx a a a?????我們?cè)賮砜蠢? 中的級(jí)數(shù) 若僅在上討論 , 則由 [ , ] [ , ]su p | ( ) ( ) | su p 1nnx a a x a axS x S xx? ? ? ?????? ? ? ?? 0 ( )1nana0[ , ] ( 1 , 1 )nnx a a可得級(jí)數(shù) 在 上一致收斂. 若在?????上討論這個(gè)級(jí)數(shù) , 則由 返回 后頁 前頁 ( 1 , 1 ) ( 1 , 1 )su p | ( ) ( ) | su p 1111nnnxxx nnS x S xnnx? ? ? ???? ? ? ??? ??? ??1()1nnnnn
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