[所有分類]一致收斂性-文庫吧
2025-01-04 13:10 本頁面
【正文】 n nxn ?? , , 所以函數列 si n ( ) 0nx fxn?? ? ? ?????在 ( , + ) 上 一 致 收 斂 于 .在 D 上不一致收斂于 f 的正面陳述是 : ? ?nf函 數 列存在某正數 0,? 對任 何正數 N, 都有某一點 0xD? 和00xn與 的取值與 N 有關 ), ( 注意 : 0nN?某 一 正 整 數使得 返回 后頁 前頁 0 0 0 0( ) ( ) .nf x f x ???? ? ( 0, 1) 在 上 不 可 能 一 致 收 斂 于由例 1 中知道 , 下面來證明這個結論 . 事實上 , 若取 0 1 , 2 ,2 N? ??對 任 何 正 整 數 取 正 整10011 ( 0, 1 ) ,Nn N xN??? ? ? ?????數 及就有 00110 1 .2nxN? ? ? ?返回 后頁 前頁 ? ?nff函 數 列 一 致 收 斂 于 的 幾 何 意 義 : 如 圖 所 示 ,號大于 N 的 所 有 曲 線()y f x ???都 落 在 曲 線與 ()y f x ??? 所 夾 的 帶狀區(qū)域之內 . ( ) ( ) ,ny f x n N??0 0 ,N?? ? ? ?, 對 于 序Oyx()y f x?()ny f x?ba()y f x ???()y f x ???圖 131 返回 后頁 前頁 { } ( 0 , 1 )nx函 數 列 在 區(qū) 間 上,不一致收斂 從幾何意義上 看 , 就是存在某個預先給定 的 ? (1), 無論 N 多么大 , 總存在某條曲線 ( ) ,ny x n N??? ?0 , ( 1 )bb ?只限于在區(qū)間 上 , 則 容易 看到 , 只要 1x?yxO2x13 2?圖113x??不能全部落在由 y ? 與?y ??? 夾成的帶狀區(qū)域內 (圖 132). {}nx若函數列 返回 后頁 前頁 ln ( 0 1 ) ,lnn b? ?其中? ? ?nyx?曲線 就全部 落在 y ?? y ?和 ??所夾成的帶狀區(qū)域內，所以 ? ?nx 在? ?0,b 上是一致收斂的 . 定理 (函數列一致收斂的柯西準則 ) 函數列 {}nfD ?在數集 上一致收斂的充要條件是 : 對任給正數 , ,n m N? xD?總存在正數 N, 使當 對一切 , 都有 | ( ) ( ) | . ( 4 )nmf x f x ???( ) ( ) ( ) ,nf x f x n x D設 ? ? ?即對證 必要性 ， ?返回 后頁 前頁 任給 0, 存在正數 N, 使得當 nN? 時 , 對一切 ?,xD? 都有 | ( ) ( ) | . ( 5 )2nf x f x ???,n m N于是當 , 由( 5 ) 得?| ( ) ( ) | | ( ) ( ) | | ( ) ( ) |n m n mf x f x f x f x f x f x? ? ? ? ?.22?? ?? ? ?充分性 若條件 (4) 成立 , 由數列收斂的柯西準則 , ( ),fx在 D上任一點都收斂 , 記其極限函數為 {}nf返回 后頁 前頁 ? ? ? ?. ( 4 ) , , ,x D n m n N現 固 定 式 中 的 讓 于 是 當 時?xD對 一 切 都 有| ( ) ( ) | .nf x f x ??? 由定義 1知 , 根據一致收斂定義可推出下述定理 : 定理 （余項準則） {} nfD函 數 列 在 區(qū) 間上一致 收斂于 f 的充分必要條件是 : li m su p | ( ) ( ) | 0. ( 6 )nnxDf x f x?????, 當 , 存在不依賴于 ? x N任給的正數 的正整數 ( ) ( ) ( ) , .nf x f x n x D? ? ??證 必要性 ( ) ( ) ( ) , .nf x f x n x D若 ? ? ?則對 ?返回 后頁 前頁 由上確界的定義 , 對所有 nN? , 也有 su p | ( ) ( ) | .nxDf x f x ????這就得到了 (6)式 . 充分性 由假設 , 對任給 ? 0, 存在正整數 N, 使得 nN?當 時, 有su p | ( ) ( ) | . ( 7 )nxDf x f x ????,xD?因為對一切 總有有 | ( ) ( ) | , .nf x f x x D?? ? ?nN 時,?| ( ) ( ) | su p | ( ) ( ) | .nnxDf x f x f x f x?? ? ?返回 后頁 前頁 .f一 致 收 斂 于注 柯西準則的特點是不需要知道極限函數是什么 , 只是根據函數列本身的特性來判斷函數列是否一致 收斂 , 而使用余項準則需要知道極限函數 , 但使用 較為方便 . 如例 2, 由于 ( , )si n 1l i m su p 0 l i m 0,nnxnxnn? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??sin( , ) , 0 ( ) .nx nn所以在 上故由 (7) 式得 ? ?( ) ( ) ,nnf x f x f D??? 于 是 在 上返回 后頁 前頁 例 3 定義在 [0,1]上的函數列 2212 , 0 ,211( ) 2 2 , , 1 , 2, , ( 8 )210, 1 ,nn x x
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