[所有分類]一致收斂性-文庫(kù)吧
2025-01-04 13:10 本頁(yè)面
【正文】 n nxn ?? , , 所以函數(shù)列 si n ( ) 0nx fxn?? ? ? ?????在 ( , + ) 上 一 致 收 斂 于 .在 D 上不一致收斂于 f 的正面陳述是 : ? ?nf函 數(shù) 列存在某正數(shù) 0,? 對(duì)任 何正數(shù) N, 都有某一點(diǎn) 0xD? 和00xn與 的取值與 N 有關(guān) ), ( 注意 : 0nN?某 一 正 整 數(shù)使得 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 0 0 0 0( ) ( ) .nf x f x ???? ? ( 0, 1) 在 上 不 可 能 一 致 收 斂 于由例 1 中知道 , 下面來證明這個(gè)結(jié)論 . 事實(shí)上 , 若取 0 1 , 2 ,2 N? ??對(duì) 任 何 正 整 數(shù) 取 正 整10011 ( 0, 1 ) ,Nn N xN??? ? ? ?????數(shù) 及就有 00110 1 .2nxN? ? ? ?返回 后頁(yè) 前頁(yè) ? ?nff函 數(shù) 列 一 致 收 斂 于 的 幾 何 意 義 : 如 圖 所 示 ,號(hào)大于 N 的 所 有 曲 線()y f x ???都 落 在 曲 線與 ()y f x ??? 所 夾 的 帶狀區(qū)域之內(nèi) . ( ) ( ) ,ny f x n N??0 0 ,N?? ? ? ?, 對(duì) 于 序Oyx()y f x?()ny f x?ba()y f x ???()y f x ???圖 131 返回 后頁(yè) 前頁(yè) { } ( 0 , 1 )nx函 數(shù) 列 在 區(qū) 間 上,不一致收斂 從幾何意義上 看 , 就是存在某個(gè)預(yù)先給定 的 ? (1), 無論 N 多么大 , 總存在某條曲線 ( ) ,ny x n N??? ?0 , ( 1 )bb ?只限于在區(qū)間 上 , 則 容易 看到 , 只要 1x?yxO2x13 2?圖113x??不能全部落在由 y ? 與?y ??? 夾成的帶狀區(qū)域內(nèi) (圖 132). {}nx若函數(shù)列 返回 后頁(yè) 前頁(yè) ln ( 0 1 ) ,lnn b? ?其中? ? ?nyx?曲線 就全部 落在 y ?? y ?和 ??所夾成的帶狀區(qū)域內(nèi)，所以 ? ?nx 在? ?0,b 上是一致收斂的 . 定理 (函數(shù)列一致收斂的柯西準(zhǔn)則 ) 函數(shù)列 {}nfD ?在數(shù)集 上一致收斂的充要條件是 : 對(duì)任給正數(shù) , ,n m N? xD?總存在正數(shù) N, 使當(dāng) 對(duì)一切 , 都有 | ( ) ( ) | . ( 4 )nmf x f x ???( ) ( ) ( ) ,nf x f x n x D設(shè) ? ? ?即對(duì)證 必要性 ， ?返回 后頁(yè) 前頁(yè) 任給 0, 存在正數(shù) N, 使得當(dāng) nN? 時(shí) , 對(duì)一切 ?,xD? 都有 | ( ) ( ) | . ( 5 )2nf x f x ???,n m N于是當(dāng) , 由( 5 ) 得?| ( ) ( ) | | ( ) ( ) | | ( ) ( ) |n m n mf x f x f x f x f x f x? ? ? ? ?.22?? ?? ? ?充分性 若條件 (4) 成立 , 由數(shù)列收斂的柯西準(zhǔn)則 , ( ),fx在 D上任一點(diǎn)都收斂 , 記其極限函數(shù)為 {}nf返回 后頁(yè) 前頁(yè) ? ? ? ?. ( 4 ) , , ,x D n m n N現(xiàn) 固 定 式 中 的 讓 于 是 當(dāng) 時(shí)?xD對(duì) 一 切 都 有| ( ) ( ) | .nf x f x ??? 由定義 1知 , 根據(jù)一致收斂定義可推出下述定理 : 定理 （余項(xiàng)準(zhǔn)則） {} nfD函 數(shù) 列 在 區(qū) 間上一致 收斂于 f 的充分必要條件是 : li m su p | ( ) ( ) | 0. ( 6 )nnxDf x f x?????, 當(dāng) , 存在不依賴于 ? x N任給的正數(shù) 的正整數(shù) ( ) ( ) ( ) , .nf x f x n x D? ? ??證 必要性 ( ) ( ) ( ) , .nf x f x n x D若 ? ? ?則對(duì) ?返回 后頁(yè) 前頁(yè) 由上確界的定義 , 對(duì)所有 nN? , 也有 su p | ( ) ( ) | .nxDf x f x ????這就得到了 (6)式 . 充分性 由假設(shè) , 對(duì)任給 ? 0, 存在正整數(shù) N, 使得 nN?當(dāng) 時(shí), 有su p | ( ) ( ) | . ( 7 )nxDf x f x ????,xD?因?yàn)閷?duì)一切 總有有 | ( ) ( ) | , .nf x f x x D?? ? ?nN 時(shí),?| ( ) ( ) | su p | ( ) ( ) | .nnxDf x f x f x f x?? ? ?返回 后頁(yè) 前頁(yè) .f一 致 收 斂 于注 柯西準(zhǔn)則的特點(diǎn)是不需要知道極限函數(shù)是什么 , 只是根據(jù)函數(shù)列本身的特性來判斷函數(shù)列是否一致 收斂 , 而使用余項(xiàng)準(zhǔn)則需要知道極限函數(shù) , 但使用 較為方便 . 如例 2, 由于 ( , )si n 1l i m su p 0 l i m 0,nnxnxnn? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??sin( , ) , 0 ( ) .nx nn所以在 上故由 (7) 式得 ? ?( ) ( ) ,nnf x f x f D??? 于 是 在 上返回 后頁(yè) 前頁(yè) 例 3 定義在 [0,1]上的函數(shù)列 2212 , 0 ,211( ) 2 2 , , 1 , 2, , ( 8 )210, 1 ,nn x x
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