[所有分類]一致收斂性(參考版)
2025-01-22 13:10本頁(yè)面
【正文】 判別不一致收斂通 ?？梢允褂媚男┓椒?？ 2． 給出函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在 D上不一致收斂的柯西準(zhǔn)則 (即柯西收斂準(zhǔn)則的否定形式 ). 。nx I v x對(duì)于每一個(gè) 是單調(diào)的?? ??( i i i ) ( ) 0 ( ) ,nI v x n在上則級(jí)數(shù) (14)在 I上一致收斂 . | ( ) | .nU x M?證 由 (i), 存在正數(shù) M, 對(duì)一切 x I, 有 ?返回 后頁(yè) 前頁(yè) 因此當(dāng) n, p 為任何正整數(shù)時(shí) , 12| ( ) ( ) ( ) | | ( ) ( ) | 2 .n n n p n p nu x u x u x U x U x M? ? ? ?? ? ? ? ? ?對(duì)任何一個(gè) x I, 再由 (ii)及阿貝耳引理得到 ?11| ( ) ( ) ( ) ( ) |n n n p n pu x v x u x v x? ? ? ??? 0, 存在正數(shù) N, 當(dāng) nN 時(shí) , 對(duì) 再由 (iii), 對(duì)任給的 ?一切 x I, 有 ?| ( ) | ,nvx ??所以 12 ( | ( ) | 2 | ( ) | ) .n n pM v x v x????返回 后頁(yè) 前頁(yè) 11| ( ) ( ) ( ) ( ) |n n n p n pu x v x u x v x? ? ? ???2 ( 2 ) 6 .MM? ? ?? ? ?于是由一致收斂性的柯西準(zhǔn)則 , 級(jí)數(shù) (14)在 I上一致 收斂 . 例 8 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 11( 1 ) ( )nnnnxnn??????在 [0, 1]上一致收斂 . ( 1 )( ) , ( ) 1 nnnnxu x v xnn記? ??? ? ?????nu?,于是 在 [0, 1] 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 上一致收斂， ()nvx在 [0,1]上單調(diào)增且一致有界 , 由 阿貝耳判別法就能得到結(jié)果 . c o s ( 1 5 )na n x?[ , 2 ] ( 0 )? ? ? ? ?? ? ?在 上一致收斂.證 由第十二章 167。 3的引理的推 論 )得到 11| ( ) ( ) ( ) ( ) |n n n p n pu x v x u x v x? ? ? ???由函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的柯西準(zhǔn)則 , 得級(jí)數(shù) (14) 在 I 上一致收斂 . 1( | ( ) | 2 | ( ) | ) 3 .n n pv x v x M????? ? ?證 ( i ) , 0 , ,N n N?由 任給 存在某正數(shù) 使得當(dāng) 及??,p x I?任何正整數(shù) 對(duì)一切 有返回 后頁(yè) 前頁(yè) 定理 (狄利克雷判別法 ) 設(shè) ( i ) ( )nux 的部分和數(shù)列?1( ) ( ) ( 1 , 2, )nnkkU x u x n????在 I 上一致有界 。nu x I在區(qū)間 上一致收斂?( ii ) , { ( ) } 。 當(dāng) 時(shí) 返回 后頁(yè) 前頁(yè) [ 0 , 1 ]su p | ( ) ( ) |nxS x S x??因此 20( 1 )nnxx???? 在 [0,1]上一致收斂 . 注 當(dāng)和函數(shù)容易求出時(shí) , 余項(xiàng)準(zhǔn)則是比較好用的一種判別方法 . 1 011nnnn??????????0n?1n?2n?() 1S x x??( ) ( ) ( )111nnS x x x?? ? ?xy 1 1 O圖 13 5 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 三、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂判別法 判別函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性除了根據(jù)定義、柯西 準(zhǔn)則或余項(xiàng)準(zhǔn)則外 , 有些級(jí)數(shù)還可以根據(jù)級(jí)數(shù)一般 項(xiàng)的某些特性來(lái)判別 . 定理 (魏爾斯特拉斯判別法，或優(yōu)級(jí)數(shù)判別法 ) ( ) ,nu x D定義在數(shù)集 上? nM?設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 為收 斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)， ,xD?若對(duì)一切 有| ( ) | , 1 , 2 , , ( 1 3 )nnu x M n??()nu x D?則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 在 上一致收斂.返回 后頁(yè) 前頁(yè) 證 ,nM由假設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù) 收斂 根據(jù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的柯 ?, 存在某正整數(shù) N, 使得當(dāng) n N 西準(zhǔn)則 , 任給正數(shù) ?及任何正整數(shù) p, 有 11| | .n n p n n pM M M M ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?( 1 3 ) xD又由 式對(duì)一切 有 ?11| ( ) ( ) | | ( ) | | ( ) |n n p n n pu x u x u x u x? ? ? ?? ? ? ? ?根據(jù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的柯西準(zhǔn)則 , 級(jí)數(shù) ()nux?在 D 上一致收斂 . 1 .n n pMM ???? ? ? ?返回 后頁(yè) 前頁(yè) 例 7 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 22sin c o s,nx nxnn??( , ) ( , )x在 上一致收斂. 因?yàn)閷?duì)一切 有? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2 2si n 1 c os 1,n x n xn n n n??21 .n?而正項(xiàng)級(jí)數(shù) 是收斂的當(dāng)級(jí)數(shù) ( ) [ , ]nnu x M a b與級(jí)數(shù) 在區(qū)間??上成立關(guān) nM? [ , ]ab系式 (13)時(shí) , 則稱級(jí)數(shù) 在區(qū)間 上優(yōu)于級(jí) 返回 后頁(yè) 前頁(yè) ()nux? ()nnM u x為??數(shù) , 或稱 的 優(yōu)級(jí)數(shù) . 優(yōu)級(jí) 數(shù)判別法也稱為 M 判別法 . 利用阿貝爾分部求和公式 (第十二章 167。 或極限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或積分 , 是否分別是函數(shù)列 每項(xiàng)導(dǎo)數(shù)或積分的極限 . 對(duì)這些更深刻問(wèn)題的討論 , 必須對(duì)它在 D上的收斂性提出更高的要求才行 . 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 設(shè)函數(shù)列 {} nf
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