函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性及其應(yīng)用(參考版)
2025-06-21 23:47本頁(yè)面
【正文】 若，數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) （2）收斂，即部分和當(dāng)時(shí)極限存在，則稱級(jí)數(shù)（1）在點(diǎn)收斂，稱為級(jí)數(shù)（1）的收斂點(diǎn)．若級(jí)數(shù)（2）發(fā)散，則稱級(jí)數(shù)（1）（1）在的某個(gè)子集上每點(diǎn)都收斂，則稱級(jí)數(shù)（1）在上收斂．若為級(jí)數(shù)（1）全體收斂點(diǎn)的集合，這時(shí)則稱為級(jí)數(shù)（1）的收斂域．級(jí)數(shù)（1）在上每一點(diǎn)與其所對(duì)應(yīng)的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（2）的和構(gòu)成一個(gè)定義在上的函數(shù)，稱為級(jí)數(shù)（1）的和函數(shù)，并寫作 ，,即 ，． 也就是說(shuō)，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（1）的收斂性就是指它的部分和函數(shù)列的收斂性．定義4 設(shè){}是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和函數(shù)列．若{}在數(shù)集上一致收斂于函數(shù),則稱函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂于函數(shù)，或稱在上一致收斂(華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，2001)[2]. 一致收斂函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì) 定理1 （連續(xù)性）若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間上一致收斂，且每一項(xiàng)都連續(xù)，則其和函數(shù)在上也連續(xù).它指出：（無(wú)限項(xiàng)）求和運(yùn)算與求極限運(yùn)算可以交換順序，即 .定理2 (逐項(xiàng)求積)若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂，且每一項(xiàng)都連續(xù)，則 .此定理指出，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在一致收斂的情況下，求和運(yùn)算與求積分運(yùn)算可以交換順序.定理3 (逐項(xiàng)求導(dǎo))若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上每一項(xiàng)都有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，為的收斂點(diǎn)，且在上一致收斂，則 .此定理指出，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在一致收斂的情況下，求和運(yùn)算與微分運(yùn)算可以交換順序(陶桂秀，2005)[3].3 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性判別法 一般方法判別函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂既是數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)重點(diǎn),證明一致收斂會(huì)利用一致收斂的定義，即定義4來(lái)證明.定義4的條件太強(qiáng)，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)固定一點(diǎn),利用數(shù)列的性質(zhì)得到以下定理：定理4 （一致收斂的柯西準(zhǔn)則）函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在數(shù)集上一致收斂的充要條件為：對(duì)任給的正數(shù)，總存在某正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，對(duì)一切和一切正整數(shù)，都有 或 .此定理中當(dāng)時(shí)，得到函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的必要條件.推論 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在數(shù)集上一致收斂的必要條件為：函數(shù)列在上一致收斂于零.設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上的和函數(shù)為，稱 為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的余項(xiàng).定理5 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在數(shù)集上一致收斂于的充要條件是： .證明 必要性 因?yàn)樵趨^(qū)間上一致收斂,所以，使得當(dāng)時(shí)，對(duì)一切,都有，即，所以，所以.充分性 設(shè)在上不一致收斂,即，,，使得，即，(李嵐，2003)[4]. 例1 若在上可積，且與在上都可積，設(shè)，則在上一致收斂于.證明 ()，所以利用定理1,當(dāng)時(shí)，一致收斂于.例2 設(shè)，在上連續(xù)，又在收斂于連續(xù)函數(shù)，則在一致收斂于.證明 已知（其中）是單調(diào)遞減且趨于0，所以，有，且，時(shí)，令，因?yàn)樵谏线B續(xù),既然，所以，.如上所述,對(duì)每個(gè)點(diǎn)，可找到相應(yīng)的鄰域及相應(yīng)的,使得時(shí)，對(duì)恒有. 如此構(gòu)成的一個(gè)開(kāi)覆蓋,，于是，總，使得當(dāng)時(shí)，取，那么當(dāng)時(shí)，恒有.由定理2得，在一致收斂于. 魏爾斯特拉斯判別法判別函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性除了定義及定理4外，有些級(jí)數(shù)還可以根據(jù)級(jí)數(shù)各項(xiàng)的特性來(lái)判別.定理6 (魏爾斯特拉斯判別法)設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定義在數(shù)集上，為收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若對(duì)一切，有 ， （3）則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂.證明 由假設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，根據(jù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的柯西準(zhǔn)則，任給正數(shù)，存在某正整數(shù)，使得當(dāng)及任何正整數(shù)，有 .又由（3）式對(duì)一切有 .根據(jù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的柯西準(zhǔn)則，級(jí)數(shù)在上一致收斂. 例3 判斷函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上的一致收斂性.證明 因?yàn)閷?duì)一切有 ，而正項(xiàng)級(jí)數(shù)是收斂的，所以根據(jù)魏爾斯特拉斯判別法知，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上是一致收斂的.（3）時(shí)，則稱級(jí)數(shù)在上優(yōu)于級(jí)數(shù)，或稱為的優(yōu)級(jí)數(shù). 阿貝爾判別法與狄利克雷判別法下面討論定義在區(qū)間上形如 （4）的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂判別法，它與數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一樣，也是基于阿貝爾分部求和公式. 阿貝爾判別法定理7 （阿貝爾判別法）設(shè)（?。┰趨^(qū)間上一致收斂；（ⅱ）對(duì)于每一個(gè),是單調(diào)的；（ⅲ）在上一致有界，即對(duì)一切和正整數(shù),存在正數(shù)，使得 .則形如的級(jí)數(shù)在上一致收斂.證明 由（ⅰ），任給，存在某
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