函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的判別(5049)(參考版)
2025-05-19 01:47本頁(yè)面
【正文】 本文雖沒(méi)有給出詳細(xì)的介紹，但這也是一個(gè)值的深入討論的問(wèn)題。同時(shí)，也可以看出，有些題目可以一題多解，深層掌握各個(gè)知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系，通過(guò)分析和比較選用最合適的判別法，問(wèn)題就會(huì)迎刃而解，有助于拓展解題思路，進(jìn)行發(fā)散性思維，以提高快速準(zhǔn)確解題的能力。七 應(yīng)用Dini定理定理6 [7] 設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間上點(diǎn)態(tài)收斂于，如果（1） （=1,2…）（2）（3）對(duì)，是正項(xiàng)級(jí)數(shù)或負(fù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，則在上一致收斂于.例7 證明：函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間上一致收斂. 證 對(duì)， 有，補(bǔ)充定義則 計(jì)算和函數(shù)，當(dāng)時(shí)，顯見(jiàn)有，當(dāng)時(shí)，有 ，于是得出 注意到 可見(jiàn),故由Dini定理知在上一致收斂。例6 假設(shè) 均為常數(shù)，級(jí)數(shù)收斂，試證：在上一致收斂。六 利用阿貝爾判別法定理5[6] 若級(jí)數(shù)滿足下面三個(gè)條件：1）函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間上一致收斂2）對(duì)于每一個(gè)，函數(shù)列關(guān)于是單調(diào)的。證 求級(jí)數(shù)的部分和 = =對(duì)，有： 即函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和函數(shù)列在上一致有界，而數(shù)列單調(diào)遞減，且趨近于零0，當(dāng)然在上也是一致收斂于0. 根據(jù)狄尼克雷判別法，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間上一致收斂。五 利用狄尼克雷判別法定理4[6] 若級(jí)數(shù)滿足下面三個(gè)條件：1）函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和函數(shù)列= （）在區(qū)間上一致有界2）對(duì)于每一個(gè)，函數(shù)列關(guān)于是單調(diào)的。但如果函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是一致收斂的，并且它還是條件收斂的，此時(shí)運(yùn)用定理3進(jìn)行判別就會(huì)失效。在做題目的過(guò)程中，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)有這樣一類級(jí)數(shù)，它們可以通過(guò)各項(xiàng)的特點(diǎn)來(lái)判別，比如對(duì)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)進(jìn)行適當(dāng)放大，這樣就會(huì)顯得更加簡(jiǎn)便，下面給出利用weierstrass判別法。三 利用Cauchy準(zhǔn)則判別定理2[3] 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間上一致收斂的充要條件為：對(duì)任
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