函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂判別法探究_畢業(yè)論文(參考版)
2024-09-02 18:00本頁(yè)面
【正文】 而當(dāng) ()px p1對(duì)成立時(shí) ,有 黃岡師范學(xué)院本科學(xué)位論文 [第 11 頁(yè)，共 15 頁(yè) ] nu (x) pn1 , p級(jí)數(shù) Σ pn1 當(dāng) p1時(shí)發(fā)散 ,從而函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)???1 )(n n xu 在 D 上不一致收斂 . 定理 8 （ 積分判別法 ） 設(shè) ( , )f xy 為區(qū)域 ? ?( , ) | ,1R x y x D y? ? ? ? ??上的非負(fù)函數(shù)， 如果 ( , )f xy 在 ? ?1,?? 上關(guān)于 y為單調(diào)減函數(shù)，若含參變量反常積 分 ( , )x f x y dy??在數(shù)集 D上一致收斂，則 ()nux? 在數(shù)集 D上一致收斂 . 證明 ： 由 ( , )x f x y dy??在數(shù)集 D上一致收斂，對(duì) 0,?? ? ? 一個(gè) N，當(dāng)nN時(shí)，對(duì)一切自然數(shù) p和一切 xD? ,有 | ( , ) |npn f x y dy??? . 由 12| ( ) ( ) ... ( ) |n n n pu x u x u x? ? ???| ( , ) |npn f x y dy??? , 所以 ()nux? 在數(shù)集 D上一致收斂 . 定理 9 （ 確界判別法 ） 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1 ()nn ux???在區(qū)間 D上一致收斂于 S(x)的充要條件： lim sup | ( ) |nn xD Rx?? ? ?lim s u p | ( ) ( ) | 0nn xD S x S x?? ? ??. 證明： 充分性 已知函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1 ()nn ux???在區(qū)間 D上一致收斂于 S(x). 0 , , ,N N n N x D? ?? ? ? ? ? ? ? ?，有：| ( ) ( ) |nS x S x ???.從而 su p | ( ) ( ) |nxD S x S x ?? ??，lim s u p | ( ) ( ) | 0nn xD S x S x?? ? ??. 必要性 已知 lim s u p | ( ) ( ) | 0nn xD S x S x?? ? ??，即0 , , ,N N n N x D? ?? ? ? ? ? ? ? ?,有su p | ( ) ( ) |nxD S x S x ?? ??.從而 xD?? ，有XXXXXXX(論文題目 ) [第 12 頁(yè)，共 15 頁(yè) ] | ( ) ( ) |nS x S x ???，即函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1 ()nn ux???在區(qū)間 D上一致收斂于 S(x). 其它判別方法 在熟悉以上常規(guī)的 判別法以后，在處理一些 問(wèn)題 時(shí) 還會(huì)用到其它的判別 方法 ，例如： 兩邊夾判別法、比較判別法、單調(diào)判別法、一致 L 條件判別法、 導(dǎo)數(shù)判別法、點(diǎn)列判別法 等 ,下面將一一介紹 . 兩邊夾判別法 對(duì)任意自然數(shù) n 和 xD? ,都有 ( ) ( ) ( )n n nu x v x w x?? 成立 ,又1 ()nn ux???與1 ()nn wx???均在點(diǎn)集 D 上一致收斂于 ()sx ,則1 ()nn vx???也在 點(diǎn)集 D 一致收斂于 ()sx . 單調(diào)判別法 下面討論在級(jí)數(shù)的和函數(shù)單調(diào)條件下 ,加上若干條件 ,可推出函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的 Dini 定理 . (Dini 定理 ) 設(shè)級(jí)數(shù)1 ()nn ux???的每一項(xiàng)在有界閉區(qū)間 [, ]ab 上連續(xù)且非負(fù) ,如果它的和函數(shù) ()Sx也在 [, ]ab 上連續(xù) ,那么該級(jí)數(shù)在[, ]ab 上一致收斂 . 證 用 ()nSx記級(jí)數(shù)的部分和 ,由于 ()nux? 0,故對(duì)每個(gè)給定的 x , ()nSx是單調(diào)增的數(shù)列 .記 ( ) ( ) ( )nnr x S x S x?? （ 1,2n? … ） , ??1 則 ()nrx是非負(fù)的單調(diào)減得數(shù)列 .我們要證明 ()nrx在 [, ]ab 上一致趨于 是這樣 ,那么存在某個(gè) 0?? ,不論 n 多大 ,總能在 [, ]ab 找到這樣的點(diǎn) nx ,使得 ()nnrx?? （ 1,2n? … ） , 黃岡師范學(xué)院本科學(xué)位論文 [第 13 頁(yè)，共 15 頁(yè) ] （ nx ）既然是 [, ]ab 中的一個(gè)點(diǎn)列 ,那么根據(jù) BolzanoWeierstrass 定理 ,從它中間能挑出一個(gè)收斂的子列knx,設(shè)0lim knk xx?? ?,則 0x ? [, ]ab ,根據(jù) ()mrx的連 續(xù)性 ,我們有 0lim ( ) ( )km n mk r x r x?? ? （ 1,2m? … ） . ??2 另一方面 ,對(duì)于任意給定的 m ,總能找到充分大的 k ,使 knm? .于是 ,對(duì)于任意給定的 x ,就有 ( ) ( )kmnr x r x?,特別有 ( ) ( )k k km n n nr x r x?.因而 由 1得 ()kmnrx? ?,命k ??,就得 0()mrx?? （ 1,2m? … ） . 但 2 知 道 , 0()mrx＝ 00( ) ( ) 0mS x S x?? （ m?? ） , 這和⑥矛盾 ,從而證明了級(jí)數(shù)在 [, ]ab 上一致收斂于 ()Sx . 注 如果把定理中的有界閉區(qū)間 [, ]ab 換成開區(qū)間或者無(wú)窮區(qū)間 ,結(jié)論就可能不成立 .例如級(jí)數(shù)0nn x???的每一項(xiàng) nx 在區(qū)間 [0,1) 中非負(fù)且連續(xù) ,它的和函數(shù) 11x?也在 [0,1) 中連續(xù) ,但該級(jí)數(shù)在 [0,1) 中并不一致收斂 . 一致 L 條件判別法 下面討論1 ()nn ux???滿足一 致 L 條件 ,來(lái)探討1 ()nn ux???的一致收斂性 ,得到函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致 L 條件判別法 ： 定理 設(shè)函數(shù)列 { ()nux}在閉區(qū)間 [, ]ab 上連續(xù) ,且存在一點(diǎn) 0x ? [, ]ab收斂 ,使得1 ()nn ux???在點(diǎn) 0x 收斂；且1 ()nn ux???在閉區(qū)間 [, ]ab 上滿足一致 L 條件；則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1 ()nn ux???在 [, ]ab 上一致收斂 . XXXXXXX(論文題目 ) [第 14 頁(yè)，共 15 頁(yè) ] 證 已知1 ()nn ux???在點(diǎn) 0x ? [, ]ab 收斂 ,即任意 0?? ,存在 1()N? ,使得1()nN?? 時(shí) ,對(duì)任意 pN?? ,有 01 ()npkkn ux ???? ??； 又因?yàn)? ()nn ux???在閉區(qū)間 [, ]ab 上滿足一致 L 條件 ,即存在常數(shù) 0L? ,使得對(duì)于任意兩點(diǎn) 0, [ , ]x x a b? ,都有 0011( ) ( ) ( )n p n pkkk n k nu x u x L x x??? ? ? ?? ? ??? 存在 0()x? ＝ L? ,當(dāng) 0＜ 0xx? ＜ 0()x? 時(shí) ,對(duì)一切 nN?? ,任意 pN?? ,任意 x? [, ]ab ,有 0011( ) ( ) ( )n p n pkkk n k nu x u x L x x??? ? ? ?? ? ??? ? L. L? ＝ ? , 于是任意 nN?? ,任意 pN?? ,任意 x? [, ]ab , 001 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )n p
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