函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂判別法探究_畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2024-10-04 18:00 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ???? ???????? neeeeeex nxxnnxx ?? 于是 nxx eex ???12 在 ???x? 地一致收斂于零，因此存在 N ，當(dāng) Nn? 時(shí)，對(duì)所有? ???? ,?x 有 ??? ???? ???? nnxx eexeex 11 22 這樣當(dāng) Nn? 時(shí)，對(duì)所有 ???x0 ，有 ???? ?????? xnxnkkx eexex 1 22 ，因此級(jí)數(shù) ????12nnxex 在???x0 上一致收斂。 定義 1： 設(shè) )(xun ，（ .2,1 ??n ）都是在數(shù)集 D 上由定義的函數(shù)，若存在一個(gè)在 D上由定義的函數(shù) S(x),對(duì)任意的 0?? ，存在自然數(shù) N,使得當(dāng) nN 時(shí)，對(duì)一切 Dx? 均有 | )()(1 xsxuk k ????|〈 ? 則稱函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) )(1 xun n???在數(shù)集 D 上一致收斂于 S(x). 3 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的判定方法 下面將給出一些判別函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的基本方法： 柯西一致收斂準(zhǔn)則，維爾斯特拉斯判別法 （ M 判別法），狄利克雷判別法，阿貝爾判別法 以及不常用的方法，例如： 兩邊夾判別法、比較判別法、單調(diào)判別法、一致 L 條件判別法、導(dǎo)數(shù)判別法、點(diǎn)列判別法這幾方面來介紹函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的判別方法 . 常用判別方法 定理 1 （ 柯西 一致 收斂 準(zhǔn)則 ） 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) )(xun? 在數(shù)集 D 上一致收斂的充要條件：對(duì)任意的正數(shù) ? ，總存在某正整數(shù) N,使得當(dāng) nN 時(shí)，對(duì)一切 x D? 和一切正整數(shù) p,都有 | )()( xsxs npn ?? |? 黃岡師范學(xué)院本科學(xué)位論文 [第 7 頁，共 15 頁 ] 或 | )()()( 21 xuxuxu pnnn ??? ??? ?|? 判別函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性除了根據(jù)定義和柯西準(zhǔn)則外，有些級(jí)數(shù)還可以根據(jù)級(jí)數(shù)各項(xiàng)的特征來判定。 例如我們 在數(shù)學(xué)分析的課本 中 , 也介紹了用阿貝爾判別法和狄利 克雷判別法 掌握 解答級(jí)數(shù) 的問題 , 以下介紹 級(jí)數(shù)收斂性理論中阿貝爾判別法和狄利 克雷判別法及魏爾斯特拉斯判別法 : 設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) )(xun? 定義在數(shù)集 D上， ?nM 為收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若對(duì)一切x D? ,有 | )(xun |? nM ， n=1， 2 ,? 則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) )(xun? 在 D 上 一致收斂 . 證明 ： 假設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù) ?nM 收斂，根據(jù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的柯西準(zhǔn)則，任給正數(shù) ? ，存在某正整數(shù) N ，使得當(dāng) nN 及任何正整數(shù) p,有 | pnn MM ?? ???1 |= ???? ?? pnn MM ?1 又對(duì)一切 Dx? 有 | )()(1 xuxu pnn ?? ?? ? | |)(||)(| 1 xuxu pnn ?? ??? ? ????? ?? pnn MM ?1 根據(jù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的柯西準(zhǔn)則，級(jí)數(shù) )(xun? 在 D 上一致收斂 定理 2 （ 阿貝 爾判別法 ） (1) )(xun? 在區(qū)間 I 上一致收斂 。 (2)對(duì)于每一個(gè) )}({, xvIx n? 是單調(diào)的； (3) )}({ xvn 在 I 上一致有界，即對(duì)一切 Ix? 和正整數(shù) n，存在正數(shù) M,使得 ,|)(| Mxvn ? 則級(jí)數(shù)在 I 上一致收斂。 證明 ：由（ 1），任給 ,0?? 存在某正數(shù) N,使得當(dāng) nN 及任何正整數(shù) P，對(duì)一切 Ix? ，有 | )()(1 xuxu pnn ?? ?? ? |? XXXXXXX(論文題目 ) [第 8 頁，共 15 頁 ] 又由（ 2）（ 3）及阿貝爾引理得 : .3|))(|2|)((||)()()()(|111 ?Mxvxv xvxuxvxupnnpnpnnn ??? ???????? ? 于是根據(jù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的柯西準(zhǔn)則就得到定理的 結(jié)論。 定理 3 （余項(xiàng)判別法） 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) ()nux? 在數(shù)集 D 上一致收斂于 ()Sx的充要條件是 : l im s u p | ( ) | l im s u p | ( ) ( ) | 0nnnnx D x DR x S x S x? ? ? ???? ? ?. 定理 4 （ 狄利克雷判別法 ） （ 1） )(xun? 是部分和函數(shù) )()(1 xuxUnk kn ??? (n=1,2 )? 在 I 上一致有 界（ 2）對(duì)于每一個(gè) |)(|, xvIx n? 是單調(diào)的 （ 3）在 I 上 )(0)( ??? nxv n 則級(jí)數(shù)在 I 上一致收斂 證明 ： 由（ 1），存在正數(shù) M，對(duì)一切 x I? ,有 MxUn ?|)(| .因此當(dāng) n,p 為任意 正整數(shù)時(shí)， 都有 ： .2|)()(||)()(| 1 MxUxUxuxu npnpnn ????? ??? ? 對(duì)任何一個(gè) x I? ,再由（ 2）及阿貝爾引理，得到 |)()()()(| 11 xvxuxvxu pnpnnn ???? ?? ? |) .)(|2|)((|2 1 xvxvM pnn ?? ?? 再由（ 3），任給 ? 0,存在正數(shù) N，當(dāng) nN 時(shí)，對(duì)一切 x I? ,由 ,|)(| ??xvn 所 以 ??? MMxvxuxvxu pnpnnn 6)2(2|)()()()(| 11 ????? ???? ? 于是由一致收斂的 柯西準(zhǔn)則，級(jí)數(shù)在 I 上一致收斂 . （注意： 利用狄利克雷判別函數(shù)級(jí)數(shù)一致收斂時(shí)， 三個(gè)條件 都應(yīng)滿足 ） 同樣的， 結(jié)合數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)比式判別法和根式判別法 ,可以得到 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的比式判別法和根式判別法 ,同時(shí)我們還 可得到函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的對(duì)數(shù)判別法 、積分判別法 . 定理 5 （ 比式判別法 ） 黃岡師范學(xué)院本科學(xué)位論文 [第 9 頁，共 15 頁 ] 設(shè) ()nux為定義在數(shù)集 D上的函數(shù)列，且 ( ) 0nux? ， n=1,2,……,記 1()()()nn nuxqx ux??， 存在正整數(shù) N及實(shí)數(shù) q,M,使得 ( ) 1nq x q??，()Nu x M? ， 對(duì)任意的 nN, xD? 成立，則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1 ()nn ux???在D上一致收斂 . 證明 : 易見 nu (x)= )()( )()( )()( )( 1211 xuxuN xuxu xuxu xu NNnnn n ?? ???? ? = )()()()( 21 xuxqxqxq NNnn ?? ?? ? Mq Nn 1??? 而等比級(jí)數(shù) ?????NnNn Mqq 1 當(dāng)公比 0 q 1 時(shí)收斂 ,從而由 M判別法知 ,???1 )(n n xu在 D 上一致收斂 . （極限形式）設(shè) nu (x) 為定義在數(shù)集 D 上正的函數(shù)列 ,記)( )()( 1 xu xuxq nnn ?? ， 若 1)()(lim ????? qxqxq nn 且 nu (x
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